16. Aylanish matritsalari

singlet, D(1, 0) va D(0, 1) bo‘yicha almashinadigan kattalik triplet, D(1, 1) bo‘yicha almashinadigan kattalik oktuplet deyiladi.

4.38-misol. va larni keltirilmaydigan qismlarga parchalang.

Ikkinchi rang tenzorini simmetrik va antisimmetrik qismlarga parchalashni

bilamiz:

simmetrik tenzor sifatida D(2, 0) bo‘yicha o‘zgaradi, esa D(0, 1) bo‘yicha almashinadigan birinchi rang kovariant tenzoriga proporsional:

. Demak,

yoki 3 ⊗ 3 = 3 ⊕ 6.

ga kelsak

, yoki

bo‘ladi.

4.39-misol. ni keltirilmaydigan qismlarga parchalang.

va lar D(0, 1) bo‘yicha almashinadigan birinchi rang kovariant

Tenzorlar izi nolga teng bo‘lgan quyi indekslari bo‘yicha simmetrik va

antisimmetrik tenzorlar:

Demak,

D(1, 0) ⊗ D(0, 1) ⊗ D(0, 1) = D(0, 1) ⊕ D(0, 1) ⊕ D(2, 0) ⊕ D(1, 2),

yoki,

4.40-misol. D(1, 1) ⊗ D(1, 1) ni toping.

Birinchi D(1, 1) ga mos keluvchi bazisni

deb belgilaymiz, ikkinchi D(1, 1) ga mos keluvchi bazisni deb belgilaymiz, ularning izlari nolga teng.

1. Birinchidan, va lardan singlet hosil qilish mumkin: . Bu - singlet,

u D(0, 0) bo‘yicha o‘zgaradi.

2. Ikkita indeksli izi nolga teng kombinatsiyalar hosil qilish mumkin:

Bular D(1, 1) bo‘yicha o‘zgaradigan ikkita oktuplet;

3. kombinatsiyani (i, l, m) indekslar bo‘yicha simmetriklashtirib

chiqish kerak, natijada