16. Aylanish matritsalari

3 ⊗ 2 = 4 ⊕ 2

deb ifodalaymiz. Ya’ni, birinchi rang tenzori (uch komponentalik vektor) va

yariminchi rang tenzori (ikki komponentalik spinor) ning ko‘paytmasi to‘rt

komponentalik (rangi 3/2 ga teng) va ikki komponentalik (rangi 1/2 ga teng)

tenzorlarning to‘g‘ri yig‘indisiga parchalanar ekan.

4.34-misol. Ikkinchi rang tenzorini soddalashtirish.

Clebsh-Gordon qatorini ikkita vektorning ko‘paytmasiga qo‘llaylik:

, yoki 3 ⊗ 3 = 5 ⊕ 3 ⊕ 1. (147)

Ikkinchi rang tenzori o‘zining ta‘rifi bo‘yicha ikkita vektorning ko‘paytmasi kabi

almashinishi kerak, shu nuqtayi nazardan chap tomonda qandaydir ikkinchi

rang tenzori turibdi. Bunday tenzorning 9 ta komponentalari bor, ular 9 o‘lchamli fazoni tashkil qiladi. (147) formulaning o‘ng tomoni bo‘yicha bu fazo uchta keltirilmaydigan invariant qismfazolarga parchalanadi. Ularning

o‘lchamliklari - 5, 3 va 1.

Shu masalani boshqacha yo‘l bilan ham yechaylik. Bizga ixtiyoriy ikkinchi rang tenzori berilgan bo‘lsin: . Uni simmetrik va antisimmetrik qismlarga bo‘lib olishimiz mumkin:

. (148)

Ko‘rinib turibdiki,

(149)

Uch o‘lchamli fazodagi ikkinchi rang tenzorining komponentalarining soni 3 ×

3 = 9 ga teng. Tenzorning mustaqil komponentalari soni masalasiga kelaylik.

Bu masalani hal qilish uchun ixtiyoriy ikkinchi rang tenzorini matritsa sifatida

tasavvur qila olishimiz mumkinligidan foydalanamiz:

Antisimmetrik tenzorning mustaqil komponentalari soni nechta? Uning

diagonalidagi hamma komponentalari nolga teng:

Diagonali tagidagi 3 ta komponentalar diagonal ustidagi 3 ta komponentalariga

minus ishora bilan teng. Demak, antisimmetrik tenzorning mustaqil komponentalari soni 3 ga teng:

Simmetrik tenzorning mustaqil komponentalarining soni esa 6 ga teng -diagonaldagi 3-ta komponentalar o‘z-o‘ziga teng, diagonal tagidagi 3-ta

komponentalar diagonal ustidagi 3-ta komponentalariga teng:

Tenzorning simmetrik va antisimmetrik qismlari koordinat o‘qlarini almashtirishda faqat o‘zi orqaligina ifodalanadi:

Bu yerda biz ikkinchi tenglikdan keyin a koeffitsiyentlarning o‘rnini

almashtirdik, uchinchi tenglikdan keyin k ↔ l almashtirish bajardik, to‘rtinchi

tenglikdan keyin esa (149) dan foydalandik.

Simmetrik tenzor o‘z navbatida ikki qismga bo‘linishi mumkin:

bu yerda tenzor T ning izi (diagonal elementlarining

yig‘indisi). T -ning izi uning simmetrik qismi S ning izi nolga teng. Yangi kiritilgan ning izi nolga teng: . Navbatdagi bu bo‘lishning ma’nosi yana

o‘sha - tenzor ustida almashtirish bajarganimizda va T yana faqat o‘zi orqali ifodalanadi:

Uchinchi tenglik belgisidan oldin almashinish matritsasi ort ogonal ekanligidan foydalandik. Shu bilan ixtiyoriy ikkinchi rang tenzori uchta invariant qismlarga bo‘lindi:

Bu taqsimot shu ma’noda invariantki, antisimmetrik tenzorlar, izi nolga teng simmetrik tenzorlar va tenzorning izi faqat o‘zi orqali almashinadigan kattaliklarni tashkil qiladi. Tasavvurlar nazariyasi tilida ularning har biriga mos keluvchi fazolar umumiy 9 o‘lchamli fazoning invariant qismfazolaridir. Bajarilgan ish (147) formulani keltirib chiqarishga ekvivalentdir.

4.35-misol.

yoki,