16. Aylanish matritsalari

dekuplet deyiladigan D(3, 0) tenzor hosil bo‘ladi;

4. kombinatsiyani (i, l, m) indekslar bo‘yicha simmetriklashtirib

chiqish kerak, natijada D(0, 3) tenzor hosil bo‘ladi, u ham dekuplet;

5. ko‘paytmani va indekslar bo‘yicha simmetriklashtirib

chiqib izlarini ayirib tashlash kerak. To‘liq simmetrik kombinatsiya:

Undan ayirilishi kerak xadlar:

Mana shu ikkala ifodalarning yig‘indisi ikkala yuqori va ikkala quyi indekslari bo‘yicha simmetrik va ixtiyoriy bitta yuqori va bitta quyi indekslari bo‘yicha soddalashtirilganda nolga teng bo‘ladigan keltirilmaydigan D(2, 2) tenzorni beradi.

Olingan natijani quyidagi ko‘rinishga keltirish maqsadga muvofiqdir:

Tenzorlarning o‘lchamlari orqali:

Chap va o‘ng tomonlarda bir xil son turibdi - 64.

Keltirilmaydigan qismlarga parchalash elementar zarrachalar nazariyasida katta ahamiyat kasb etadi. Kvant xromodinamikasida kvarklar uch xil rangga (algebraik rang emas, qizil, sariq va yasxil ranglar) ega bo‘lib SU (3) gruppasining fundamental tasavvurini tashkil qiladi - kvarklar D(1, 0) va antikvarklar D(0, 1) tasavvurlarga tegishli. Mezonlar bitta kvark va bitta antikvarkdan tashkil topgan, demak, ular tasavvurga tegishli bitta sibglet va bitta oktetdan iborat nonetni tashkil qilishi kerak.

Fizikada har bir oktet, nonet, dekuplet va h.k.lar multiplet deyiladi. Barionlar, giperonlar uchta kvarkdan tuzilgan bo‘lib ular ham tegishli multipletlarga parchalanadi. SU (3) gruppasining 8 ta generatori bor (paragrafning oxirida

SU (n) gruppasi uchun generatorlarning soni hisoblangan, bu son ga tengligi ko‘rsatilgan). SU (3) ning generatorlari fundamental tasavvurda odatda quyidagicha tanlab olinadi Bu yerda lar Gell-Mann matritsalari deyiladi, ularning ko‘rinishi quyidagicha:

Ko‘rinib turibdiki, generatorlarning ikkitasi, va , bir vaqtda diagonal ko‘rinishga ega. Bu degani 23. da keltirilgan klassifikatsiya bo‘yicha SU (3) gruppasi ikkinchi rang gruppadir.

va generatorlarga mos keluvchi kvant sonlar saqlanuvchi kattaliklar bo‘ladi. Elementar zarrachalar fizikasida bu sonlar sifatida giperzaryad va izotopspinning uchinchi komponentasi qabul qilinadi. larning hammasi izsiz ermit matritsalardir.

va larga ahamiyat berilsa ular Pauli matritsalarini o‘z ichiga oladi, bu bilan SU (2) gruppasi SU (3) gruppasining qismgruppasi ekanligi ta’kidlanmoqda. Generatorlar quyidagi kommutatsion munosabatlarga bo‘ysunadi:

SU (3) gruppasining xossalarini bilish uchun yuqoridagi generatorlar algebrasiga kirgan struktura doimiylari larni bilish yetarli, bu haqida 23. da gapirilgan. Generatorlarning yuqorida keltirilgan realizatsiyasi uch o‘lchamli D(1, 0) tasavvurga mos keladi, ixtiyoriy D(p, q) tasavvurda generatorlarning realizatsiyasini quyidagicha topish mumkin. Cheksiz kichik parametrlar uchun

deb olib (152) formulada cheksiz kichik almashtirishlarga o‘tamiz





belgilash kiritilsa

bo‘ladi. Masalan,

.

To‘g‘ri qavslarning ichidagi matritsa aralash tenzor ning tasavvuridagi generator bo‘ladi, bu generatorlarning o‘lchamligi 9 × 9. Boshqa tasavvurlarga mos keluvchi generatorlarni ham shu yo‘l bilan topish mumkin.

Paragrafning oxirida SU (n) gruppasi uchun bir necha muhim munosabatlarni keltirib chiqaraylik. SU (n) gruppasining generatorlari sonini topaylik. Generatorlar izi nolga teng ermit bo‘lgan n × n matritsalardan iborat.

Kompleks n × n matritsaning umumiy elementlari soni ga teng, ermitlik shartlari soni ga teng, izsizlik sharti 1 ta, shu bilan, izi nolga teng ermit bo‘lgan n × n mustaqil matritsalarning soni ga teng. Demak, SU (n) gruppasining generatorlari ta bo‘ladi (masalan, SU (3) gruppasida 8 ta generator bor). Ularni , deb belgilaylik.

Generatorlarning kommutatori

Bu yerda, hamma indekslari bo‘yicha to‘liq ravishda antisimmetrik tenzor - SU (n) gruppasining struktura doimiylari (Lie gruppalari algebrasining 22.3. dagi xossalariga qarang). Elementar zarrachalar nazariyasida ko‘p ishlatiladigan bir necha formulalarni keltirib chiqaraylik.

Generatorlar quyidagi shartlarga bo‘ysunadi:

Birinchi shart - generatorlarning izsizligi sharti, ikkinchi shart –ixtiyoriy yarimsodda gruppalari uchun kiritilishi mumkin (22.3. dagi Cartan formasining muhokamasiga qarang). Ikkinchi shartda 1/2 ning o‘rniga ixtiyoriy son olish mumkin, ammo biz yuqoridagini tanlaymiz. Bu munosabatlardan ko‘rinib turibdiki

Feynman diagrammalarida quyidagi munosabat keng qo‘llaniladi:

. (153)

4.4-mashq. (153) formulani keltirib chiqaring.

4.5-mashq. (153) formuladan foydalanib quyidagi munosabatlarni

keltirib chiqaring:

,

Bu mashqda paydo bo‘lgan va belgilar SU (n) gruppasining kvadratik Casimir operatorlarining xususiy qiymatlari, - fundamental (n o‘lchamli) tasavvurga mos keladi, esa biriktirilgan ( o‘lchamli) tasavvurga mos keladi.

Kvant xromodinamikasida kvarklar bilan bog‘langan, chunki kvarklar fundamental tasavvurga tegishli, esa gluonlar bilan bog‘langan, chunki gluonlar biriktirilgan tasavvurga tegishli.