1–Mavzu: Davlat standartlari. O’z. D 301-97 304-97. Formatlar. Masshtablar. Chiziqlar. Shriftlar. O’z. D 307-97. O’lcham qo’yish qoidalari. Nuqta. Koordinatalar bo’yicha nuqtaning proyeksiyalarini chizish. Xususiy vaziyatdagi nuqtalar

b)

a)



v)

g)
1.21-rasm

Nuqtaning ikki o‘zaro perpendikulyar tekisliklardagi proyeksiyalari

Biror buyumning tasviriga qarab uni o‘qilishini ikkita o‘zaro parallel bo‘lmagan proyeksiyalar tekisligiga proyeksiyalash orqali ta’minlash mumkin.
Proyeksiyalar tekisliklarini o‘zaro perpendikulyar vaziyatda tanlab olinishi buyum tasvirini o‘qilishini osonlashtiradi.
O‘zaro perpendikulyar bo‘lgan ikki tekislik bir–biri bilan kesishib fazoni to‘rt qismga – kvadrantlarga (choraklarga) bo‘ladi. Fazoda gorizontal vaziyatda joylashgan (2.1–rasm) H tekislik gorizontal proyeksiyalar tekisligi, vertikal joylashgan V tekislik frontal proyeksiyalar tekisligi deb ataladi. H va V proyeksiyalar tekisliklari o‘zaro perpendikulyar bo‘lib, ularning kesishgan Ox chizig‘i proyeksiyalar o‘qi deyiladi. Bunda H va V tekisliklar proyeksiyalar tekisliklari sistemasini hosil qiladi.
Proyeksiyalar tekisliklari sistemasining bunday fazoviy modelida turli geometrik shakllar, shuningdek, detallar, mashina va inshootlarni joylashtirib, so‘ngra ularning chizmalarini yasash katta noqulayliklar tug‘diradi va zaruriyati ham bo‘lmaydi.
Buyumlarning chizmalarini bajarishda bu tekisliklarning bir tekislikka joylashtirilgan (jipslashtirilgan) tekis tasvirlaridan foydalaniladi. Shu maqsadda V proyeksiyalar tekisligi qo‘zg‘almasdan, H gorizontal proyeksiyalar tekisligini Ox proyeksiyalar o‘qi atrofida pastga 90º ga aylantirib, V tekislik bilan ustma–ust tushirib jipslashtiriladi (2.2–rasm). Natijada, H va V tekisliklarda bajarilgan barcha yasashlar asosiy chizma tekisligi sifatida qabul qilingan V frontal proyeksiyalar tekisligiga joylashtiriladi. Bunda nuqta yoki geometrik shaklning bitta tekislikda joylashtirilgan ikki – gorizontal va frontal tasvirlari –tekis chizma yoki kompleks chizma – epyur hosil qilinadi. Bu usulni birinchi marta fransuz geometri Gaspar Monj (1746-1818) tavsiya etgan. Shuning uchun bu tekis chizmani Monj chizmasi deb ham yuritiladi.
Amalda geometrik shakllarning to‘g‘ri burchakli proyeksiyalarini yasashda asosan proyeksiyalar o‘qlaridan foydalaniladi. Shuning uchun chizmada proyeksiyalar tekisliklarining konturini tasvirlash shart emas (2.3–rasm).



2.1-rasm 2.2-rasm 2.3-rasm
Ma’lumki, barcha buyumlar nuqtalar to‘plamidan tashkil topgan. Shuning uchun proyeksiyalashni nuqtadan boshlash maqsadga muvofiq bo‘ladi. Biror nuqta yoki geometrik shakl fazoning turli choraklarida joylashuvi mumkin.
Birinchi chorakda joylashgan nuqtaning chizmasi. Fazodagi A nuqta birinchni chorakda joylashgan bo‘lsin (2.4–rasm). Uning H va V tekisliklardagi proyeksiyalarini yasash uchun bu nuqtadan mazkur tekisliklarga perpendikulyarlar o‘tkazamiz va ularning bu tekisliklar bilan kesishish nuqtalarini aniqlaymiz. Faraz qilaylik, A nuqtadan H tekislikka tushirilgan perpendikulyarning asosi A′ bo‘lsin. A nuqtadan V tekislikka tushirilgan perpendikulyarning asosi A″ ni aniqlash uchun A′ dan Ox o‘qiga perpendikulyar o‘tkazamiz va A_x nuqtani aniqlaymiz. V tekislikka tushirilgan perpendikulyarlar bilan Ox o‘qidagi A_x nuqtadan o‘tkazilgan perpendikulyar bilan kesishtirib A″ nuqtasini topamiz.
A nuqtadan H va V tekisliklarga o‘tkazilgan perpendikulyarlarning A′ va A″ asoslari A nuqtaning to‘g‘ri burchakli proyeksiyalari deb yuritiladi. Bu yerda A′ – A nuqtaning gorizontal proyeksiyasi, A″ – uning frontal proyeksiyasi deb ataladi va A(A′,A″) ko‘rinishda yoziladi. Shakldagi AA′ va AA″ chiziqlar proyeksiyalovchi nurlar yoki proyeksiyalovchi chiziqlar deyiladi.
A nuqtaning chizmasini tuzish uchun tekisliklarning fazoviy modelini yuqorida qayd qilingan qoidaga muvofiq V tekislikka jipslashtiramiz (2.5–rasm). Bunda A nuqtaning A″ frontal proyeksiyasi V tekislikda bo‘lgani uchun uning vaziyati o‘zgarmay qoladi. Gorizontal A′ proyeksiyasi H tekislik bilan Ox o‘qi atrofida pastga 90º ga buriladi va V tekislikning davomida jipslashadi. Natijada, A nuqtaning A′ gorizontal hamda A″ frontal proyeksiyalari Ox o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan bitta chiziqda joylashadi (2.6–rasm). Bunda A′A″⊥Ox bo‘lib, uni proyeksiyalarni bog‘lovchi chiziq deb yuritiladi.



2.4-rasm 2.5-rasm 2.6-rasm

Fazoning I choragida joylashgan har qanday nuqtaning gorizontal proyeksiyasi Ox o‘qining ostida, frontal proyeksiyasi uning yuqorisida joylashgan bo‘lib, ular Ox o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan bitta proyeksiyalarni bog‘lovchi chiziqda yotadi.

Ikkinchi chorakda joylashgan nuqtaning chizmasi. Fazodagi biror B nuqta II-chorakda joylashgan bo‘lsin (2.7–rasm). Uning proyeksiyalarini yasash uchun bu nuqtadan H va V tekisliklarga perpendikulyarlar o‘tkazamiz. Bu perpendikulyarlarning proyeksiyalar tekisliklari bilan kesishgan B′ va B″ asoslari B nuqtaning gorizontal va frontal proyeksiyalari bo‘ladi. B nuqtaning chizmasini tuzish uchun H tekislikni 2.8–rasmda ko‘rsatilganidek V tekislikka jipslashtiramiz. Bunda B nuqtaning B″ frontal proyeksiyasining vaziyati o‘zgarmay qoladi. Uning H tekislikdagi B′ gorizontal proyeksiyasi esa V tekislikning yuqori qismi bilan jipslashadi va Ox o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan B″B_x proyeksiyalarni bog‘lovchi chiziqda bo‘ladi (2.9–rasm).
Fazoning II-choragida joylashgan har qanday nuqtaning gorizontal va frontal proyeksiyalari Ox o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan bitta proyeksiyalarni bog‘lovchi chiziqda va Ox o‘qining yuqorisida joylashadi.

2.7-rasm 2.8-rasm 2.9-rasm

Uchinchi chorakda joylashgan nuqtaning chizmasi. Fazodagi biror C nuqta III-chorakda joylashgan bo‘lsin (2.10–rasm). Bu nuqtaning gorizontal va frontal proyeksiyalarini yasash uchun H va V tekisliklarga perpendikulyar tushiramiz. Bu perpendikulyarlarning H va V tekisliklardagi C′ va C″ asoslari C nuqtaning gorizontal va frontal proyeksiyalari bo‘ladi. Nuqtaning chizmasini yasash uchun H tekislikni V tekislikning davomida jipslashtiramiz (2.11–rasm). Bunda C nuqtaning C″ frontal proyeksiyasi V tekislikda bo‘lgani uchun o‘z vaziyatini o‘zgartirmaydi. Uning C′ gorizontal proyeksiyasi esa H tekislik bilan birga V tekislikning yuqori qismida jipslashadi va 2.12–rasmda ko‘rsatilgan vaziyatni egallaydi.

2.10-rasm 2.11-rasm 2.12-rasm
Fazoning III-choragida joylashgan har qanday nuqtaning gorizontal proyeksiyasi Ox o‘qining yuqorisida, frontal proyeksiyasi esa uning ostida, Ox o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan bitta proyeksiyalarni bog‘lovchi chiziqda yotadi.
To‘rtinchi chorakda joylashgan nuqtaning chizmasi. Fazodagi biror D nuqta fazoda IV chorakda joylashgan bo‘lsin (2.13–rasm). Uning H va V tekisliklardagi proyeksiyalarini yasash uchun D nuqtadan bu tekisliklarga perpendikulyar o‘tkazamiz.
Perpendikulyarlarning H va V tekisliklar bilan kesishgan D′ va D″ asoslari D nuqtaning gorizontal va frontal proyeksiyalari bo‘ladi.
D nuqtaning chizmasini tuzish uchun H tekislikni Ox o‘qi atrofida pastga 90° ga aylantiramiz va V tekislik davomi bilan jipslashtiramiz (2.14–rasm). Bunda D nuqtaning D″ frontal proyeksiyasining vaziyati o‘zgarmaydi. Gorizontal D′ proyeksiyasi esa H tekislik bilan harakatlanib, Ox o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan, D″ nuqta bilan bitta proyeksiyalarni bog‘lovchi chiziqda yotadi (2.15–rasm).
Fazodaning IV choragida joylashgan har qanday nuqtaning gorizontal va frontal proyeksiyalari Ox o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan bitta proyeksiyalarni bog‘lovchi chiziqda va Ox o‘qining ostida bo‘ladi.

2.13-rasm 2.14-rasm 2.15-rasm

Bissektor tekisliklarda joylashgan nuqtalarning chizmalari. Fazoning birinchi va uchinchi choraklarini teng ikkiga bo‘luvchi tekislik birinchi bissektor tekisligi, shuningdek, ikkinchi va to‘rtinchi choraklarini teng ikkiga bo‘luvchi tekislik ikkinchi bissektor tekisligi deb ataladi.

Agar fazodagi nuqtalar proyeksiyalar tekisliklaridan teng uzoqlikda joylashlashgan bo‘lsa, bunday nuqtalar bissektor tekisliklarga tegishli nuqtalar bo‘ladi. 2.16-rasmda birinchi bissektor tekislikda joylashgan K va L nuqtalarning, 2.18-rasmda esa ikkinchi bissektor tekislikda joylashgan E va F nuqtalarning fazodagi vaziyati va epyurlari ko‘rsatilgan. Chizmada birinchi bissektor tekislikda joylashgan K va L nuqtalarning proyeksiyalari (K′, K″ va L′, L″) Ox o‘qidan baravar uzoq- likda joylashadi (2.17-rasm). Ikkinchi bissektor tekislikda joylashgan E va F nuqtalarning proyeksiyalari (E′, E″ va F′, F″) chizmada ustma–ust tushadi (2.19-rasm).
Proyeksiyalar tekisligida va koordinatlar o‘qida joylashgan nuqtalarning chizmalari. Fazoda biror nuqta proyeksiyalar tekisligida yoki proyeksiyalar o‘qida joylashishi mumkin. Masalan, AH bo‘lsin (2.20–rasm). Bunda A nuqtaning gorizontal proyeksiyasi A′ nuqtaning o‘ziga (AA′), frontal proyeksiyasi A″ esa Ox o‘qiga proyeksiyalanadi (2.21–rasm). Shuningdek, nuqta Ox proyeksiyalar o‘qida ham joylashishi mumkin. Masalan, BOx bo‘lsa, bu nuqtaning B′ gorizontal va B″ frontal proyeksiyalari shu B nuqtaning o‘ziga proyeksiyalanadi, ya’ni B′B″B bo‘ladi (2.21-rasm).



2.16-rasm 2.17-rasm

2.18-rasm 2.19-rasm



2.20-rasm 2.21-rasm
Turli choraklarda joylashgan nuqtalarni H va V proyeksiyalar tekisliklariga proyeksiyalash va ularning chizmalarini tuzishdan quyidagi xulosalarni chiqarish mumkin:
Nuqtaning fazodagi vaziyatini uning ikki ortogonal proyeksiyasi to‘la aniqlaydi. Haqiqatan ham, A nuqtaning berilgan A′ gorizontal va A″ frontal proyeksiyalaridan perpendikulyar chiqarilsa, ularning kesishish nuqtasi A nuqtaning fazodagi vaziyatini aniqlaydi (2.4–rasm).
Fazodagi har qanday nuqtaning gorizontal va frontal proyeksiyalari Ox o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan bir bog‘lovchi chiziqda joylashadi. Masalan, A nuqtaning (2.6–rasm) chizmasini yasash uchun H tekislik V tekislik bilan jipslashtirilganda A′A_xOx va A″A_xOx bo‘lgani uchun bu nuqtaning A′ va A″ proyeksiyalari Ox o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan bir to‘g‘ri chiziqda bo‘lib qoladi.
Fazodagi har qanday nuqtaning H va V proyeksiyalar tekisliklaridan uzoqliklarini nuqta gorizontal va frontal proyeksiyalarining Ox o‘qigacha bo‘lgan masofalari aniqlaydi. Haqiqatan, A nuqtadan H tekislikkacha bo‘lgan masofa (2.4–rasm) AA′=A″A_x va V tekislikkacha bo‘lgan masofa AA″=A′A_x. Demak, A nuqtaning H tekislikkacha bo‘lgan masofasini A″A_x va V tekislikkacha bo‘lgan masofani A′A_x masofalar aniqlaydi.
Nuqtaning uchta tekislikdagi proyeksiyalari
O‘zaro perpendikulyar bo‘lgan uchta proyeksiyalar tekisligi kesishib, fazoni 8 qismga – oktantlarga bo‘ladi (2.22–rasm). Ma’lumki, H tekislik – gorizontal proyeksiyalar tekisligi, V – frontal proyeksiyalar tekisligi deyiladi. Tasvirdagi W tekislik profil proyeksiyalar tekisligi deb ataladi. Uchta proyeksiyalar tekisliklar o‘zaro perpendikulyar joylashgan bo‘ladilar, ya’ni H⊥V⊥W. Buni H, V va W proyeksiyalar tekisliklari sistemasi deb yuritiladi.
Tekisliklarning o‘zaro kesishishi natijasida hosil bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar proyeksiyalar yoki koordinata o‘qlari deyiladi va Ox, Oy, Oz harflari bilan belgilanadi. Proyeksiyalar o‘qlarini tashkil qiluvchi Ox – abssissalar o‘qi, Oy – ordinatalar o‘qi va Oz – applikatalar o‘qi deb ataladi. Buni H, V va W proyeksiyalar tekisliklari sistemasi deb yuritiladi.
Uchta proyeksiyalar tekisligining o‘zaro kesishish nuqtasi O koordinatlar boshi deyiladi.
Bu sistemada musbat miqdor Ox o‘qiga (2.22–rasm) koordinatlar boshi O dan chapga, Oy o‘qiga kuzatuvchi tomonga vo Oz o‘qiga yuqoriga qaratib qo‘yiladi. Bu o‘qlarning qarama–qarshi tomonlari manfiy miqdorlar yo‘nalishi bo‘lib hisoblanadi.



2.22-rasm. 23-rasm 24-rasm 25-rasm
Proyeksiyalar tekisliklarida geometrik shakllarning ortogonal proyeksiyalarini yasashni osonlashtirish uchun, odatda, bu tekisliklarning bir tekislikka jipslashtirilgan tekis tasviridan foydalaniladi. Shu maqsadda H tekislikni Ox o‘qi atrofida pastga 90° ga va W tekislikni Oz o‘qi atrofida o‘ngga 90° ga aylantirib, V tekislikka jipslashtiriladi (2.23–rasm). Bunda Ox va Oz proyeksiyalar o‘qlarining vaziyati o‘zgarmay qoladi (2.24–rasm). H tekislik V tekislikka jipslashtirilganda Oy o‘qining musbat yo‘nalishi Oz o‘qining manfiy yo‘nalishi bilan, Oy o‘qining manfiy yo‘nalishi esa Oz o‘qining musbat yo‘nalishi ustma–ust tushadi. Shuningdek, profil proyeksiyalar tekisligi W frontal proyeksiyalar tekisligi V bilan jipslashtirilganda Oy o‘qining musbat yo‘nalishi Ox o‘qining manfiy yo‘nalishi bilan, uning manfiy yo‘nalishi Ox o‘qining musbat yo‘nalishi bilan ustma–ust joylashadi.
Geometrik shaklning ortogonal proyeksiyalari yasashda asosan H, V va W proyeksiyalar tekisliklari sistemasining koordinatalar o‘qlaridan foydalaniladi. Shuning uchun chizmada proyeksiyalar tekisliklarini tasvirlash shart emas (2.24–rasm). Shuningdek, tasvirni soddalashtirish uchun koordinata o‘qlarining manfiy yo‘nalishlarini chizmada hamma vaqt ham ko‘rsatilmaydi (2.25-rasm). Koordinata o‘qlarining manfiy yo‘nalishlari nuqtaning qaysi oktantga tegishligiga qarab belgilanadi.
Amaliyotda nuqta va geometrik shakllarning fazoviy vaziyati va ularning ortogonal proyeksiyalariga oid masalalarni asosan I–IV oktantlarda yechish bilan chegaralaniladi. Nuqtaning proyeksiyalari, uning fazoni qaysi oktantida joylashuviga qarab, proyeksiyalar o‘qlariga nisbatan turlicha joylashadi.
Biror nuqta berilgan koordinatalariga asosan fazoning turli oktantlaridan birida joylashgan bo‘lishi mumkin. Buni aniqlash uchun koordinata o‘qlarining yo‘nalishi (2.22-rasm) ishoralariga asosan quyidagi 1-jadvalni keltiramiz.
1-jadval

Oktantlar	Koordinatalar
	x	y	z
I	+	+	+
II	+	-	+
III	+	-	-
IV	+	+	-
V	-	+	+
VI	-	-	+
VII	-	-	-
VIII	-	+	-

Bu jadvaldan foydalanib, nuqtaning berilgan koordinatalarining ishoralari orqali uning qaysi oktantda joylashganligini aniqlash mumkin. Quyida koordinatalari bilan berilgan nuqtalarning fazodagi vaziyati va chizmasini yasashni ko‘rib chiqamiz.