2. Mantiqiy masalalarni yechishning asosiy usullari

Lejandr formulasi: n! ko‘paytmada p tub sonning eng katta darajasi quyidagiga teng:
[𝑝] + [ ] + [ ] + ⋯
𝑛 𝑛 𝑛
𝑝2 𝑝3
𝑎 = 𝑝1𝛼1 ∙ 𝑝2𝛼2 ∙ … 𝑝𝑛𝛼𝑛 bo‘lsin deylik, bu yerda 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛 −tub sonlar,
𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 −nomanfiy butun sonlar.
𝒂 sonining natural bo‘luvchilari sonini-𝝉(𝒂), natural bo‘luvchilari yig’indisini 𝜹(𝒂) orqali belgilaylik, u holda quyidagi tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
𝝉(𝒂) = (𝜶𝟏 + 𝟏) ∙ (𝜶𝟐 + 𝟏) … ∙ (𝜶𝒏 + 𝟏)
𝜹(𝒂) =
𝒑𝟏𝜶𝟏+𝟏 − 𝟏 𝒑𝟐𝜶𝟐+𝟏 − 𝟏
𝒑𝟏 − 𝟏 𝒑𝟐 − 𝟏 𝒑𝒏 − 𝟏
∙ ∙ … ∙
𝒑𝒏𝜶𝒏+𝟏 − 𝟏
Eyler funksiyasi. 𝜑(𝑥) orqali 𝑥 dan kichik hamda 𝑥 bilan o‘zaro tub bo‘lgan sonlar sonini belgilaylik. 𝜑(𝑥) – Eyler funksiyasi deyiladi.
𝑎 dan kichik hamda a bilan o‘zaro tub bo‘lgan sonlar soni quyidagicha hisoblanadi:
𝝋(𝒂) = 𝒂 ∙ (𝟏 − ) ∙ (𝟏 − ) ∙ … ∙ (𝟏 − )
𝟏 𝟏 𝟏
𝒑𝟏 𝒑𝟐 𝒑𝒏
Xususan, agar 𝑝-tub son bo‘lsa, u holda 𝜑(𝑝) = 𝑝 − 1, 𝜑(𝑝2) = 𝑝2 − 𝑝 bo‘ladi.
[𝑥], {𝑥}, 𝜏(𝑥), 𝛿(𝑥), 𝜑(𝑥) funksiyalar sonlar nazariyasining muhim funksiyalaridan hisoblanadi.
Diofant tenglamalari.
Diofant tenglamalari - ikki yoki undan koʻp nomaʼlum qatnashgan, koeffitsiyentlari butun sonlar boʻlgan algebraik tenglamalar; bunda butun yoki
ratsional sonlardan iborat yechimlari izlanadi. Birinchi darajali Diofant
tenglamalarining umumiy nazariyasini 17-asrda yashagan fransuz matematigi
Bashe yaratgan. Ferma, Eyler, Lagranj va Gauss tadqiqotlari natijasida 19-asr boshlarida ikkinchi darajali Diofant tenlamalari asosan tekshirilgan edi. Diofant tenglamalarini tekshirish usullari uzluksiz kasrlar nazariyasiga asoslangan. Diofant tenglamalari deganda nomaʼlumlari soni tenglamalari sonidan koʻp bulgan butun koeffitsiyentli algebraik tenglamalar sistemalari ham tushuniladi. Diofant tenglamalari, baʼzan, aniqmas tenglamalar deb yuritiladi.
Diofant tenglamalarini yechish o'quvchilardan alohida e’tibor, malaka va bilimni talab qiladi. Shuning uchun ham Diofant tenglamalari fan
olimpiadalarining turli bosqichlarida, Xalqaro olimpiada topshiriqlarida alohida ahamiyatga ega.
Diofant tenglamalarining umumiy korinishi
𝑓(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = 0
shaklda bo'ladi. Bu yerda f ifoda x1,x2,...,xn o'zgaruvchilari butun sonlar bo'lganida butun qiymatlar qabul qiladi.
Diofant tenglamalar III asrda yashagan yunon matematigi Diofant sharafiga
shunday nomlangan. Aytish joizki bunday tenglamalarni yechishning umumiy usuli mavjud emas.
Ta’rif:
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏
ko’rinishdagi tenglamalar chiziqli diofant tenglamalar deyiladi. Bu yerda 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛, 𝑏 𝜖𝑍, 𝑛 ≥ 1 va 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 ≠ 0 .
Endi shunga o’xshash ba’zi bir diofant tenglamalarning ko’rib chiqamiz .
yechilishlarini