8-Mavzu: Vektor tushunchasi. Vektorlar ustida chiziqli amallar. Vektorning o‘qdagi proyeksiyasi. Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi
. Vektorni songa ko’paytirish
Yüklə 169,91 Kb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Vektorlar ustida chiziqli amallar quyidagi xossalarga ega
- Ikki vektor orasidagi burchak tushunchasi
- Vektorning o’qqa proeksiyasi va uning xossalari
- Vektorni koordinata o’qlaridagi tashkil etuvchilari bo’yicha yoyish
|
3
. Vektorni songa ko’paytirish. Noldan farqli а vektorning m 0 songa ko’paytmasi deb, а vektorga kollinear, uzunligi a m ga teng bo’lgan, m 0, bo’lganda а vektor bilan bir xil yo’nalgan, m 0 bo’lganda esa unga qarama– qarshi yo’nalgan hamda m а bilan belgilanadigan vektorga aytiladi(8-rasm). 8- rasm. Izoh. 1. Istalgan а vektorni uning uzunligi а bilan unga mos а 0 birlik vektorni ko’paytmasi shaklida tasvirlash mumkin, ya‘ni а = а 0 а . 2. а va b ( b 0 ) kollinear vektorlar uchun shunday yagona son mavjud bo’lib а = b tenglik o’rinli bo’ladi. Haqiqatan, а = а 0 а , b = b 0 b vektorlarni kollinearligidan 0 а = 0 b ekanligi kelib chiqadi. U holda а = а 0 b = b а b yoki b а = belgilashni kiritsak а = b hosil bo’ladi. Shunday qilib vektorlarni qo’shish, ayirish hamda vektorni songa ko’paytirish natijasida vektor hosil bo’lar ekan. Vektorlar ustida chiziqli amallar quyidagi xossalarga ega 1. а + b = b + а (9 а -chizma); 2. ( а + b )+ с = а + ( b + с ) (9 b -chizma); 3. m ( а + b )= m а + m b . 4. а +0= а ; 5. а +(- а )= 0 ; 6. а 1= а ; 7. ( m+n ) а = m а + n а , m va n haqiqiy sonlar ; 8. ( m n ) а = m ( n а )= n ( m а ). 9-rasm. Ikki vektor orasidagi burchak tushunchasi Fazoda а va b vektorlar berilgan bo’lsin. Fazoda ixtiyoriy 0 nuqtani olib ОА = а va ОВ = b vektorlarni yasaymiz. 5-tarif. а va b vektorlar orasidagi burchak deb ОА va ОВ vektorlardan birini ikkinchisi bilan ustma-ust tushishi uchun burilishi lozim bo’lgan (0 ) burchakka aytiladi. а vektor bilan o’q orasidagi burchak deganda а vektor bilan o’qda joylashgan va u bilan bir xil yo’nalgan 0 birlik vektor orasidagi burchak tushiniladi. а va b vektorlar orasidagi burchak ( а ^ b ) kabi belgilanadi. Vektorning o’qqa proeksiyasi va uning xossalari Fazoda o’q va АВ vektor berilgan bo’lsin. А va В nuqtalardan bu o’qqa perpendikulyar tushirib perpendikulyarning asoslarini mos ravishda 1 А va 1 В orqali belgilaymiz. 1 1 В А vektor АВ vektorning o’qdagi tashkil etuvchisi yoki komponenti deb ataladi (9-rasm). 1 va 2 sonlar 1 А va 1 В nuqtalarning o’qdagi koordinatalari bo’lsin. 6-ta’rif. 2 - 1 ayirma АВ vektorning o’qqa proeksiyasi deb ataladi. АВ vektorning o’qqa proeksiyasi pr АВ kabi belgilanadi. Shunday qilib АВ vektorning o’qqa proeksiyasi deb vektorning boshi А va oxiri В nuqtalarning o’qdagi proeksiyalari 1 А va 1 В nuqtalar orasidagi masafoga aytilar ekan. Bu masofa vektor bilan o’qning yo’nalishi mos tushganda «+» ishora bilan aks holda «-» ishora bilan olinadi. Proeksiyani ta’rifidan АВ vektor o’qqa perpendikulyar bo’lganda uning o’qqa proeksiyasi nolga teng bo’lishi kelib chiqadi. (10- rasm) Proeksiyaning asosiy xossalarini keltiramiz: 1. а vektorning o’qqa proeksiyasi а vektor uzunligini bu vektor bilan o’q orasidagi burchak kosinusiga ko’paytmasiga teng, ya’ni pr а = а cos . Bu 10 a -chizmadan ko’rinib turibdi. 2. Ikki vektor yig’indisining o’qqa proeksiyasi qo’shiluvchi vektorlarning shu o’qqa proeksiyalari yig’indisiga teng, yani pr ( а + b )= pr а + pr b . Bu 10 b -chizmadan ko’rinib turibdi. 3. Vektor а ni songa ko’paytirganda uning o’qqa proeksiyasi ham shu songa ko’payadi, ya’ni pr ( а )= . pr а (10 d -rasm). Boshqacha aytganda skalyar ko’paytuvchini proeksiya belgisidan chiqarish mumkin ekan. 2 - 1 = pr АВ 0, 2 - 1 = pr АВ =0, 2 - 1 = pr АВ 0. 10-rasm 11-rasm. Endi АВ vektorning o’qdagi tashkil etuvchi 1 1 В А vektorni proeksiya orqali ifolalaymiz. 0 vektor o’qqa mos birlik vektor bo’lsin. U holda 1 1 В А = pr АВ 0 (1) bo’lishi ravshan. Izoh. Vektorning boshqa vektor yo’nalishiga proeksiyasi ham xuddi vektorning o’qqa proeksiyasi kabi aniqlanadi. Vektorni koordinata o’qlaridagi tashkil etuvchilari bo’yicha yoyish Oxyz fazoda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini olaylik. O’qlarning har birida boshi koordinatalar boshida bo’lib yo’nalishi o’qning musbat yo’nalishi bilan ustma-ust tushadigan birlik vektorlarni olamiz va ularni i , j , k lar orqali belgilaymiz. Bu yerdagi i 0 х o’qqa mos, j 0 у o’qqa mos va k 0 z o’qqa mos birlik vektorlar. Demak i , j , k birlik vektorlar o’zaro perpendikulyar va nokomplanar. 7 -t a’rif. Uchta i , j , k vektorlar sistemasi dekartning to’g’ri burchakli bazisi yoki ortlar deb ataladi. а fazodagi ixtiyoriy vektor bo’lsin. Shu vektorni i , j , k ortlar orqali ifodalash mumkinmi? Agar mumkin bo’lsa u ifodani qanday topish mumkin? degan savollarga javob topishga harakat qilamiz. а vektorni o’z-o’ziga parallel ko’chirib uning boshini koordinatalar boshiga joylashtiramiz. а = ОМ vektorning oxiri М nuqtadan koordinata tekisliklariga parallel tekisliklar o’tkazamiz. Natijada diagonallaridan biri ОМ vektordan iborat parallelepipedga ega bo’lamiz. 12-rasmdan vektorlarni qo’shish qoidasiga binoan а = 1 ОМ + P М 1 + PМ ga ega bo’lamiz. P М 1 = 2 OМ , PМ = 3 ОМ bo’lgani uchun а = 1 ОМ + 2 ОМ + 3 ОМ (2) bo’ladi. 1 ОМ , 2 ОМ va 3 ОМ vektorlar mos ravishda а = ОМ vektorni 0 х, 0 у va 0 z o’qlardagi tashkil etuvchilari bo’lganligi uchun ular 1) formulaga ko’ra 1 ОМ = x r p 0 ОМ i , 2 ОМ = у pr 0 ОМ j , 3 ОМ = z r p 0 ОМ k (3) bo’ladi. а = ОМ vektorning 0 х, 0 у, 0z o’qlardagi proeksiyalarini mos ravishda а х , а у , а z lar orqali belgilasak (2) va (3) formulalarga asoslanib а = а х i + а у j + а z k (4) formulaga ega bo’lamiz. Shunday qilib fazodagi istalgan а vektorni yagona usul bilan dekart bazisi i , j , k orqali (4) ko’rinishda ifodalash mumkin ekan. (4) а vektorni uning koordinatalar o’qlaridagi tashkil etuvchilari orqali yoyilmasidir. Bu yoyilmani har xil qo’llanmalarda har xil nomlar bilan yuritiladi. 12- rasm Masalan uni vektorni ortlar, dekart bazisi, vektorni proeksiyalari va koordinatalari orqali yoyilmasi deb ham yuritiladi. Faraz qilaylik vektorning oxiri М nuqta х,у,z koordinatalarga ega bo’lsin. U holda а = ОМ vektorning koordinata o’qlaridagi proeksiyalari а х = х,а у =у,а z =z bo’lib (4) yoyilma а = х i + у j + z k (5)
koordinatalari deb ham ataladi. O’qlardagi proeksiyalari а х , а у , a z ga teng а vektorni а ={ а х ; а у ; а z } ko’rinishda yozamiz. а х - а vektorning abssissasi, а у - ordinatasi, a z – applikatasi deb ataladi. Shunday qilib boshi koordinatalar boshida bo’lgan а = ОМ vektor bilan uni oxiri M nuqta bir xil koordinatalarga ega bo’lar ekan. ОМ vektor M nuqtaning Yüklə 169,91 Kb. Dostları ilə paylaş:
|