A. M. Polatov kompyuter vositasida modellashtirish asoslari

t‘2 = t'i + «la ! — — S
\ m_p +■ ₂ + «*3 /
tezlikka erishadi.
Huddi shu mulohazalami raketaning uchinchi pog‘onasiga nisbatan ham qo‘llash mumkin. Raketaning dvigatellari o‘chirilgandan so‘ng, raketaning tezligi
/ тр + тъ \
r_s = v₂ -Mi In { —— |
\m„ + лт% /
ga teng boiadi.
Bu zanjimi ixtiyoriy sondagi pog‘onalarga nisbatan davom ettirib, mos formulami hosil qilish mumkin. «=3 holda esa oxirgi
tezlikka nisbatan
t₃ , ( m₀ \ i m„ -f- m₂ + m₃ / m_v + ir₅ \

№ , 5
J ( ^ai \ ( °² \( ') I 43
i 56
Ni{t + di) — Ntii) = ~aNr(i -f (dt}> or. > О, 0 < -i < 1. 63
- f +fllr - *K 97
x_e = E |(^ДИ Г ~ И (8) 99
У, = £ 107
_М.„дй±м, о) 29
s_n=ix,. (3) 49
2>„=o, («) 55

J ( ^ai \ ( °² \( ') I
Zi 1 -f" A t O: jL — 2 ) / V i -f- i&2 — 1) / \ 1 -b — i ) /' j
tenglikga ega bo‘lamiz.
Mazkur ifoda kattaliklarga nisbatan simmetrik bo‘lib,
u o‘zining maksimumiga simmetrik holda, ya’ni cn = alphas = m = a boMganda erishadi. Bunda, i- 3 ga nisbatan
i — A „ / t-3 '■>
pTa’ '""rtl
munosabat o‘rinlidir.
a_Xft₂as = a munosabat o‘rinlidir, buni yoki
5 too (1 - A \ ⁴ * =mr ⁼ {P-A)
bo‘lganda tekshirish mukin. Ko‘p pog'onali raketaga nisbatan shunga o‘xshash ravishda
mo / 1 — A \ⁿ { v„ \
₌ I i p ~ _eXp f !
m_P \P~\j \ пи/ ^j^
ga ega boTamiz, bu yerda n — pog‘onalar soni.
(1) formulani tahlil qilaylik. v_n = 10,5 km/s, A - 0,1 deb olamiz. U holda n = 2, 3, 4 ga nisbatan mos ravishda m₀ = 149 m_r, mo = 77 w_p, w₀ - 65 m_p deb olamiz. Bu degani, ikki pog‘onali raketa foydali massani orbitaga chiqarishga layoqatlidir (ammo bir tonallik foydali yukda 149 tonnalik vaznli raketaga ega boiish darkor). Uchinchi pog‘onaga o'tish raketaning massasini deyarli ikki martaga kamaytiradi (ammo uning tuzilmasini murakablashtiradi), to‘rt pog‘onali raketa esa uch pog‘onaliga nisbatan sezilarli yutuqni bermaydi.

2. 
   Iyerarxik zanjirni qurish natijasida bu kabi muhim xulosalarga nisbatan oson yo‘l bilan kelindi. Matematik modellarning iyerarxiyasi teskari “murakkabdan osonga qarab” tamoyili bo‘yicha ham quriladi. Bunday holatda “yuqoridan pastga” tartibda ish ko‘riladi - umumiy va murakkab modeldan soddalashtiruvchi farazlar asosida nisbatan sodda (ammo tadbiq etilish doirasi ancha tor bo‘lgan) modellar ketma-ketligi hosil qilinadi.IMITATSIYALIMODELLASHTIRISH
   
   1. 
      Modda va energiya muvozanatining modeli
      

Modda va energiyaning muvozanatini hisobga olgan differencial tengiamalarga asoslanuvchi modelga misol ko‘raylik. Ma’lumki, tabiatda, hattoki eng qulay sharoitlarda ham daraxtnirig o‘sishi ma’lum bir chegaradan oshmaydi. Nima uchun hamma daraxtlar tabiati qanday boiishidan qat’iy nazar, avvaliga tez o‘sib, so‘ngra o‘sish sur’atlari sekinlashadi va nihoyat umuman o‘sishdan to‘xtab qoladi?
Ongli ravishda shunisi ravshanki, daraxt o‘sishi bilan fotosintez tufayli energiya ko‘payadi, boshqa tomondan esa ozuqaviy moddalarni daraxtning butun hajmi bo‘yicha uzatish bilan bog‘liq qiyinchiliklar paydo bo‘ladi, bundan esa energiyaning katta qismi shu kabi ehtiyojlarga sarf boiadi. Va nihoyat, shunday vaqt momenti keladiki, daraxt o‘zining o‘sishi bilan paydo bo‘ladigan yangi energiya xarajatlami qoplash uchun yetarli bo‘lmay qoladi va daraxt o‘sishdan to'xtaydi. Bu kabi ongli mulohazalar asosida gipotezalar bayon qilinib, model qurish, so‘ngra esa mulohaza qilish mumkin.
Poletayev LA. tomonidan taklif etilgan modelni o‘rganib chiqamiz. Bu model quyidagi soddalashtiruvchi farazlarga asoslangan:

1. 
   Yetuk yoshdagi o‘simlik o‘sish jarayonida geometrik o‘xshashlikni saqlab qoladi. Bu degani, yetuk daraxtda o‘sish davomida geometrik o‘lchamlarning nisbati, masalan balandlikning diametrga nisbati (h/d = const) o‘zgarmasdan qoladi.
   
2. 
   Erkin energiyani (yoki faol moddani) o‘simlik faqatgina fotosintez yo‘li bilan oladi.
   
3. 
   Erkin energiya fotosintezga, tirik tanani qurish (o‘sish) va eritmani tuproqdan ko‘tarish uchun sarfboiadi.
   
4. 
   Katta vaqt oraliklarida o‘simlik tanasining birlik yuzasiga to‘g‘ri keluvchi o‘zgarmas miqdordagi yorug‘likni oladi (kunlik va mavsumiy tebranishlarni hisobga olmagan holda) va tuproqdagi chegaralanmagan zahiradan kerakli moddalarni yutadi.
   

Endi muvozanat tenglamasini qurish mumkin bo‘ladi. x — daraxtning balandligi bo‘lsin; u holda 1-chi farazga ko‘ra, barg sathining yuzasi x² ga, o‘simlik hajmi esa x³ kattalikka proporsional boTadi. Ma’lumki, x vaqt o‘tishi bilan o‘zgaradi: jc = x(t). Muvozanat tenglamasida qatnashgan barcha kattaliklami x orqali ifodalashga harakat qilamiz, Avvalambor, kelib tushuvchi E erkin energiyaga mos keluvchi ifodani topamiz. Bu energiya fotosintez tufayli hosil bo‘ladi. 0‘simlikning yashil qismi qanchalik ko‘p bo‘lsa, energiya shunchalik katta bo‘ladi. Shunday
j -y
qilib, E x‘ ga proporsional deb hisoblash mumkin: E=ar“, bu yerda a - proporsionallik koeffitsiyenti (u barglaming o‘lchami va shakliga bogiiq boTib, konkret turdagi o^£simlik uchun uni o'zgarmas deb hisoblash mumkin).
2-farazga ko‘ra boshqa energiya manbalari yo‘q va shuning uchun energiyaning sarf boiishini kuzatib borish mumkin. linergiyaning bir qismi avvalambor, fotosintez jarayonini o‘zini amalga oshirish uchun sarf bo'ladi. Bu xarajat ham x² ga bog‘liq bo¹ lib, uni fix² ko‘rinishda ifodalash mumkin, bu yerda JB a dan kichik bo'lgan proporsionallik koeffitsiyenti. So‘ngra energiya ozuqaviy eritmani o‘simlikning barcha qismlariga yetkazib berish uchun sarf boMadi. Yetkazib beriluvchi yo‘llar, ya’ni, o‘simlikning hajmi qanchalik katta boTsa, xarajat ham shunchalik katta bo‘ladi. Bundan tashqari, bu xarajat og‘irlik kuchini yengib o‘tish bilan bog‘iiq bo‘lib, ozuqaviy moddalami qanchalik kattaroq balandlikka ko‘tarish kerak boTsa, u ham shunchalik katta bo‘ladi. Shunday qilib, bu xarajat ham x³ hajmga, ham x balandlikka bog‘liq boMib, uni hajm va balandliklarning ko‘paytmasi, ya’ni yx³x ga proporsional deb hisoblash mumkin.
Va nihoyat, energiya o‘simlik massasini orttirishga, ya’ni o^£sishga sarf bo‘ladi. Bu xarajat o‘sish tezliga, ya’ni massaning vaqt bo‘yicha olingan hosilasiga proporsional (m = рос³, bu yerda p

• 
  o‘simlikning o'rtacha zichligi, x³ - hajm). Shunday qilib, oxirgi xarajat
  

dt
ko‘rinishda ifodalanishi mumkin, bu yerda 6 - proporsionallik koeffitsiyenti.
Energiyaning saqlanish qonuniga ko‘ra (aytib o‘tilgan farazlami hisobga olgan holda) energiyaning sarf bo‘lishi uning kelib tushishiga teng boiishi kerak, bundan quyidagi muvozanat tenglaraasiga ega boiaraiz:
cxx² = /?x² + yx⁴ -+■ ³)
yoki

№ , 5
J ( ^ai \ ( °² \( ') I 43
i 56
Ni{t + di) — Ntii) = ~aNr(i -f (dt}> or. > О, 0 < -i < 1. 63
- f +fllr - *K 97
x_e = E |(^ДИ Г ~ И (8) 99
У, = £ 107
_М.„дй±м, о) 29
s_n=ix,. (3) 49
2>„=o, («) 55

dt
munosabatlarga ega bo'lish mumkin.
Daraxt о‘sib borayotganligi tufayli, dx/dt hosila musbat. Bu degani a - bx² > 0, demak, x² Shuning uchun, (2) ifodani integrallab.
a
-X
In = 2 -Jabit — t„)
/<*
X
'b
ga ega bo‘lamiz, bu yerdan x(t) =
Ъ j + g~~
Bu formula daraxt o‘sishining vaqt bo‘yicha egri chizig‘ini beradi (2.1-rasm).





Agarda a va b lar maTum bo‘lsa (ular daraxtning turiga bog‘liq Ы iadi), u holda mazkur formula bo‘yicha berilgan turdagi d raxtning yoshiga qarab o‘rtacha o‘sishini aniqlash mumkin. P¹ iodelning real tajribaviy vaziyatlarda sinovdan o‘tkazilishi uning i dekvatligini tasdiqlab berdi. Demak, uning asosida yotgan iirazlar haqiqatga zid emas.
Masala. O’rmondagi daraxtlarning maksimal balandligi 50 metr 40-yoshli daraxtlami kesib, sellyuloza tayyorlashda xom- ashyo sifatida ishlatadilar. Bu daraxtlarning o‘rtacha balandligi 15 metr a va b koeffitsiyentlami aniqlang va modelni quring.
Yechish sxemasi. (i) yosh ortib borishi bilan, x(t) balandik ^ ga
yaqinlashib boradi (tenglamaning yechimiga qarang).


Bu sistemani yechish natijasida a va b koeffitsiyentlaming qiymatlarini topish mumkin bo‘ladi.

2. 
   Energiyaning saqlanish qonuni modeli
   

Bu qonun qariyb ikki yuz yillardan buyon ma’lum boMib, tabiatning buyuk qonunlari orasida alohida o‘rinni egallaydi. Bu qonunga tayanib, yaqin atrofda maxsus laboratoriyaga ega bo‘linmasada, to‘pponcha o‘qining tezligini tezkor aniqlash niyatida mayatnik turidagi nisbatan oson qurilma - mustahkam va erkin aylanuvchi yengil sterjenga osilgan yukdan foydalanish mumkin (2.2. rasm).

i

2. 
   -rasm. Matematik mayatnik
   

Faraz qilaylik, m massali o‘q M massali yukka v tezi к biian otilsin. Natijada yukda tiqilib qolgan o‘q “o‘q-yuk” sist< nasiga o‘zining kinetik energiyasini beradi. Bu kinetik e ergiya sterjenning vertikaldan eng yuqori chetlashish momentida “o‘q- yuk” sistemasining potensial energiyasiga o‘tadi.
Bu o'tishlar quyidagi tengliklar zanjiri orqali tasvirlanadi:
_r , ^
= (M -f ~ (M 4* — сша),
Bu yerda mv²/2 - v tezlikka ega bo‘lgan m massali o‘qning kinetik energiyasi, M - yukning massasi, V - “o‘q-yuk” sistemasining to‘qnashuvdan keyingi tezligi, g - erkin tushish tezlanishi, I - steijenning uzunligi, a - vertikaldan eng yuqori chetlashish burchagi.
Izlanayotgan tezlik quyidagi formula bo‘yicha topiladi: