Алгебра ва сонлар назарияси

Teorema: Agar kvadratik shakl(forma) ikki turli usul bilan (ya’ni boshqa-boshqa ikkita bazisda) kvadratlar yig’indisiga keltirilgan bo`lsa, u holda musbat koeffitsiyentlarning soni hamda manfiy koeffitsiyentlarning soni ikkala holda bir xildir.
Isbot: Dastlab ushbu lemmani isbot qilamiz.
Lemma. n o`lchovli R fazoda mos tartibda k va l o`lchovli ikkita R` ham R`` koeffitsiyentlarning qism fazolari mavjud deylik va shu bilan birga k+l=n bo`lsin. U holda bu qism fazolarning ikkalasiga ham tegishli bo`lgan vektor mavjuddir.
Isbot. lar o`lchovli qism fazoning bazisi, lar esa o`lchovli qism fazoning bazisi bo`lsin. ta
,
vektorlar chiziqli bog’liq, chunki . Boshqacha qilib aytganda, ba’zilarigina nolga teng bo`lishi mumkin bo`lgan shunday

sonlar mavjudki.

ya’ni

endi

deb faraz qilaylik. Ko`ramizki, vektor bir tomondan
, vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida tasvirlangan, shuning uchun , ikkinchi tomondan esa ning o`zi vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida tasvir etilgan, demak, . Shunday qilib, vektor hamda qism fazolarning kesishish joyida yotadi. ekanini ko`rsatamiz. Agar bo`lganda edi, u holda , vektorlar chiziqli erkli bo`lganlari uchun bo`lar edi, vektorlarning chiziqli erkli bo`ganliklari sababli esa bo`lar edi.
Ammo sonlar orasida kamida bitta noldan farqli son bor, shuning uchun va shuning bilan lemma isbot bo`ldi.
bazisda kvadratik shakl(forma)

ko`rinishga ega deb faraz qilaylik, shu bilan birga lar vektorning koordinatalari ya’ni

bo`lsin. bazisda shu kvadratik shakl(forma)ning o`zi

ko`rinishga ega bo`lsin, bunda lar vektorning bazisdagi koordinatalari. Biz va ekanligini isbot qilishimiz kerak. Bu shunday bo`lmasin, masalan, deb faraz qilaylik vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat qism fazoni qaraymiz. Uning o`lchovi ga teng.
vektorlar chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo`lgan qism fazoning o`lchovi esa ga teng. bo`lgani uchun (chunki biz faraz etganimiz),lemmaga muvofiq, va ning kesishgan joyida yotadigan vektor mavjud ya’ni

va

bazisda bu vektor koordinatalarga ega bo`lib,
bazisda esa u koordinatalarga (2) va (3) larga ko`mib bir to mondan esa

ni ( larning ba’zilarigina noldga teng bo`lishi mumkin bo`lgani uchun), ikkinchi tomondan esa

ni hosil qilamiz. Biz ziddiyatlikka keldik, demak, tengsizlikning bo`lishi mumkin emas. , va tengshsizliklarning bo`lishi mumkin emasligi ham xuddi shunga o`xshash usul bilan isbot etiladi. Shunday qilib, kvadratik shakl(forma) uchun inersiya qonuni isbot etildi.