Аллакова Дилбар
Yüklə 1,93 Mb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- МАВЗУНИ МУСТАЩКАМЛАШ УЧУН САВОЛЛАР .
- 16- МАЪРУЗА МАВЗУ: ЧИЗИ+ЛИ ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИНИ НОМАЪЛУМЛАРИНИ КЕТМА-КЕТ ЙЫ+ОТИШ УСУЛИ (ГАУСС УСУЛИ) БИЛАН ЕЧИШ Р Е Ж А
|
Матрицанинг ранги. А матрицанинг сатрлари m та n ылчовли горизонтал
a 1 =(a11, a12 ,..., a1n ), a 2 =(a21 , a22 ,..., a2n ), . . . , a m =( am1 , am2 .,..., amn ) (3) векторларни, устунлари эса n та m ылчовли вертикал векторларни ташкил =илади. Уларни горизонтал векторлардан фар= =илиш учун a 1 =(a11, a21 ,..., am1 ), a 2 =(a12 , a22 ,..., am2 ), . . . , a n =( a1n , a2n .,..., amn ) (4) кыринишда белгилаймиз. 1-таъриф. a 1 ,a 2 , . . . ,a m векторлар системасининг ранги A матрицанинг сатрлар быйича ранги, a 1, a 2, . . . , a n векторлар системасининг рангига эса А матрицанинг устунлар быйича ранги дейилади. 1- теорема. Элементар алмаштиришлар матрицанинг рангини ызгартирмайди. Исботи. Элементар алмаштиришларни сатрларга тадби= этайлик. 1). Mатрицанинг ихтиёрий иккита сатрининг ырнини алмаштириш (3) системадаги иккита векторнинг ырнини алмаштиришга мос келади, шунинг учун щам унинг ранги ызгармайди. 2). Матрицанинг бирор сатри (масалан i-cатр) 0 сонига кыпайтирилган былса, у щолда (3) системадаги a i -вектор шу сонига кыпайтирилган былади, яъни a 1 ,a 2 , . . . , a i , . . . ,am (5) система щосил былади. Фараз этайлик, (3) чизи=ли эркли, лекин (5) эса чизи=ли бо\ланган былсин. У щолда щеч былмаса бирортаси нолдан фар=ли 1 , 2 , . . . , i , . . . , m сонлари мавжуд былиб 1 a1 +2a2 +...+i (a i)+...+m a m=0 тенглик бажарилади. i0 деб олишимиз мумкин (акс щолда (3)-система чизи=ли бо\ланган былар эди). 0 былганлиги сабабли i 0, демак, 1 a1 + +2a2 +...+(i )a i+...+m a m=0, яъни (3)-система чизи=ли бо\ланган, бу =арама-каршилик (5)-системанинг чизи=ли бо\ланмаган эканлигини кырсатади. 3). Матрицанинг j-сатрининг элементлари га (0) кыпайтирилиб i-сатрнинг мос элементларига =ышилган былса, у щолда a 1 ,a 2 , . . . , a i +a j , . . . ,a m (6) векторлар системасига эга быламиз. Бизга маълумки, (3) ва (6) векторлар системалари эквивалент, яъни уларнинг ранглари тенг. 2-теорема. Щар бир матрицанинг сатр быйича ранги устун быйича рангига тенг. Исботи. Биз (3) ва (4) системаларнинг рангларининг тенг эканлигини ис-ботлаймиз. (3) нинг базиси a1 ,a2 , . . . ,ar (7) (4) нинг базиси эса a 1, a 2, . . . , a s (8) былсин. Биз r=s эканлигини исботлаймиз. Фараз этайлик r ai11 + ai2 2 + ....+ ais s =0, (i=1,2,...,r). (9) Бу (1 , 2 , ....,s ) ечим (3) даги =олган векторлар ar+1 ,ar+2 , . . . ,am ларнинг биринчи s та координаталардан тузилган ak1x1 + ak2 x2 + ....+ aks xs =0, (k= r+1,r+2,...,m) системани щам =аноатлантиради. Ща=и=атан щам, ar+1 ,ar+2 , . . . ,am векторларнинг щар бири (7) системадаги векторлар ор=али (базис ор=али) чизи=ли ифодаланади: ak =1k a1 + 2k a2 + ....+ rk ar , (k= r+1,r+2,...,m). Бундан(ak1,ak2 , , ...., akn) = (1k a11 + 2k a21 + ....+ rk ar1 , . . . , 1k a1n + 2k a2n + ....+ rk ar n) ёки ak1 = 1k a11 + 2k a21 + ....+ rk ar1 , ------------------------------ aks = 1k a1s + 2k a2s + ....+ rk ar s , ak,s+1 = 1k a1,s+1 + 2k a2,s+1 + ....+ rk ar,s+1 , (k=r+1,r+2,... ,n) ------------------------------------------------------ akn = 1k a1n + 2k a2n + ....+ rk ar n . Бу тенгликларнинг биринчи s тасини мос равишда 1 , 2 , ....,s ларга кыпайтириб =ышсак (9) га асосан ak11+ak2 2 + ....+aks s =1 (1k a11+2k a21 + ....+ + rk ar1 )+2 (1k a12 + 2k a22 + ....+ rk ar2)+...+s(1k a1s + 2k a2s + ....+ rk ar s)= 1k( a11 1 + a12 2 + ....+a1s s) + 2k( a21 1 + a22 2 + ....+a2s s) + ... + + rk( ar1 1 + ar2 2 + ....+ars s)= 1k 0 + 2k 0 +...+ rk =0 ни щосил =иламиз. Демак, ak11+ak2 2 + ....+aks s =0 (10) (9) ва (10) дан (8) нинг чизи=ли бо\ланган эканлиги келиб чи=ади. Ща=и=атан щам 1 a 1 +2 a 2 +....+s a s =1 (a11 ,a21 ,..., am1 )+2 (a12 ,a22 ,..., am 2 )+ . . . +s (a1s ,a2s ,..., ams )= ( a111 + a122 + ....+a1ss), a211 + a222 + ....+a2ss), ... , + am11 + am22 + ....+ams s)=(0,0, . . . ,0). Бу эса (8) нинг чизи=ли эркли эканлигига зиддир. Демак, r< s была олмас экан. r > s щол щам худди шундай =аралади. Шунинг учун щам r = s. Чизи=ли тенгламалар системасининг ранги деб унинг матрицасининг рангига айтилади. Агар нолмас сатрга эга былган матрицадаги k-нолмас сатрдаги биринчи нолдан фар=ли элемент(k-1)-нолмас сатрдаги биринчи нолдан фар=ли элементдан ынг томонда турса бундай матрицага по\онали матрица дейилади. Тушунарлики матрицанинг ранги унинг по\онали кыринишидаги нолдан фар=ли сатрлар сонига тенг. Mисол. Ушбу матрицанинг рангини щисобланг . Шундай =илиб, берилган матрицанинг ранги r(A)=3 . МАВЗУНИ МУСТАЩКАМЛАШ УЧУН САВОЛЛАР . 1). Mатрицанинг ранги деб нимага айтилади? 2). Чизи=ли тенгламалар системасининг ранги деб нимага айтилади ? 3). Матрицанинг сатрлар (устунлар) быйича ранги деб нимага айтилади? 4). Матрицадаги элементар алмаштиришлар унинг рангига =андай таъсир =илади? 16- МАЪРУЗА МАВЗУ: ЧИЗИ+ЛИ ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИНИ НОМАЪЛУМЛАРИНИ КЕТМА-КЕТ ЙЫ+ОТИШ УСУЛИ (ГАУСС УСУЛИ) БИЛАН ЕЧИШ Р Е Ж А: 1. Чизи=ли тенгламалар системасида ягона ечимга эга былган щол. 2. Чизи=ли тенгламалар системаси чексиз кып ечимга эга былган щол. 3. Мисоллар. 4. Бир жинсли ва бир жинсли былмаган чизи=ли тенгламалар системаси ечимлари орасидаги бо\ланиш. АДАБИЁТЛАР [ 1 , 2 , 3 ]. Ушбу mxn -чизи=ли тенгламалар системаси (ч.т.с.) a11 x1 +a12 x2 + ....+ a1n xn = b1 a21 x1 +a22 x2 + ....+ a2n xn = b2 .................................................. (1) am1 x1 +am2 x2 + ....+ amn xn = bm берилган былсин.Уни Гаусс усули билан ечиш учун унинг ихтиёрий бир (масалан биринчи) тенгламасини ёзиб оламиз ва =олган тенгламаларнинг барчасидан бирорта номаълумни (масалан, x1 ни) йы=отамиз. У щолда ушбу системага эга быламиз: a11 x1 +a12 x2 + ....+ a1n xn = b1 a'22 x2 + ....+ a'2n xn = b'2 ................................... (2) a'm2 x2 + ....+ a'mn xn = b'm Тушунарлики (2) система (1) га эквивалент. Энди (2) системадаги 1-тенгламани ва =олган тенгламалардан яна бирортасини (масалан 2-тенгламани) ёзиб оламиз, =олган барча тенгламалардан x2 ни йы=отамиз. Шу жараённи давом эттирамиз. Бунда агар 0=0 кыринишдаги тенглама щосил былса, уни тушириб =олдирамиз. Агарда, 0=b (b0) кыринишдаги тенглик щосил былса, у щолда жараённи тыхтатамиз ва система ечимга эга былмайди. Шу жараённи k марта такрорлагандан кейин =уйидаги икки щолатдан бири юз беради: 1).Охирги тенгламада фа=ат 1 та номаълум =атнашиб =олади; 2).Охирги тенгламада 1 тадан орти= номаълум =атнашади ва улардан бирортасини щам энди йы=отиш имконияти йы=. 1-щолда охирги тенгламадан xn ни топиб оламиз ва уни охиргидан олдинги тенгламага =ыйиб xn-1 ни топамиз. xn ва xn-1 ларни топилган =ийматларини ундан олдинги тенгламага =ыйиб xn-2 ни топамиз ва х.к. xn ,xn-1 , ... , x2 ларнинг топилган =ийматини системадаги биринчи тенгламага =ыйиб x1 ни топамиз. Шундай =илиб, бу щолда берилган система ягона x1 =1, x2 =2, ... , xn =n ечимга эга. Мисол. 1). системани Гаусс усули билан ечинг. Жавоби: x1 = 1, x2 =2 , х3 =3. Иккинчи щолда системанинг охирги тенгламасида фа=ат бирта номаълумни чап томонда (масалан, xk ни) =олдириб бош=а номаълумларни xk+1 ,..., xn ларни эркли ызгарувчи сифатида =абул =илиб щосил былган системани 1-щолдаги сингари йыл билан ечиб х1,x2,...,xn ларни топамиз ва бу щолда топилган ечим хk+1,...,xn эркли ызгарувчи (параметр)ларга бо\ли= былади ва уларга ихтиёрий =ийматлар бериб системанинг чексиз кып ечимини топамиз. Мисол. 2). x1= 2+x2 - х3 =2-2+(4/3) х3 - х3=х3 /3 . Жавоби: х1= х3 /3; х2=2+(4/3) х3 ; х3 R.. Бу алмаштиришларни ту\ри бурчакли матрицалар ёрдамида щам бажариш мумкин. 4. Фараз этайлик ai1x1 +ai2 x2 + ....+ ain xn = bi , i=1,2,3, ... , m . (1) система билан бирга унга мос ai1x1 +ai2 x2 + ....+ ain xn = 0 , i=1,2,3, ... , m . (2) бир жинсли чизи=ли тенгламалар системаси щам берилган былсин. 1. (2) системанинг иккита (1, 2, . . . ,n) ва (1, 2, . . . , n) ечимларининг йи\индиси ва айирмаси щам шу системанинг ечими былади. Исботи. Ща=икатан щам, ai11 +ai2 2 + ....+ ain n = 0 ва ai11 +ai2 2 + . ..+ ain n = 0 былса , у щолда ai1(1 1)+ai2 (2 2)+ ....+ ain (n n)= = ai11 +ai2 2 + ....+ ain n (ai11 +ai2 2 + . ..+ ain n )= 0 0=0. 2. (2)-системанинг ихтиёрий ечимининг R сонига кыпайтмаси яна шу системанинг ечими былади. Исботи. (1, 2, . . . ,n) (2)-системанинг ечими былсин, яъни ai11 +ai22+ + ....+ ain n = 0 , у щолда ai1(1)+ai2 (2)+ ....+ ain(n) = ( ai11 +ai22 + + ....+ ain n)= 0=0. Бу икки хоссадан келиб чи=адики, (2) системанинг ечимлар тыплами W арифметик фазо былар экан (n ылчовли арифметик фазо мавзусига =аранг), яъни W, n ылчовли арифметик фазонинг =исм фазоси экан. 3. (1) нинг ихтиёрий (1, 2, . . . ,n) ва (1, 2, . . . , n) ечимларининг айирмаси (2) системанинг ечими былади. Исботи. Ща=и=атан щам ai11 +ai2 2 + ....+ ain n = bi ва ai11 +ai2 2 + + . ..+ ain n = bi былса, у щолда ai1(1 - 1)+ai2 (2 - 2)+ ....+ ain (n - n)= = ai11 +ai2 2 + ....+ ain n - (ai11 +ai2 2 + . ..+ ain n )= bi - bi =0 былади. 4. (1) нинг ихтиёрий ечими(1, 2, . . . ,n) билан (2) нинг ечими(1, 2, . . .... , n) ларнинг йи\индиси ва айирмаси щам (1) нинг ечими былади. Исботи. ai11 +ai2 2 + ....+ ain n = bi ва ai11 +ai2 2 + . ..+ ain n = 0 былса , у щолда ai1(1 1)+ai2 (2 2)+ ....+ ain (n n)= ai11 +ai2 2 + ....+ +ain n (ai11 +ai2 2 + . ..+ ain n )= bi 0 = bi былади. 3 ва 4 -хоссалардан келиб чи=адики, (1)- системанинг ечимларини щосил =илиш учун унинг бирта х0 =(1, 2, . . . ,n) ечимига (2) - системанинг ечимини =ышиш кифоя, яъни агар (1) ниг ечимлари тыпламини H десак, H=х0+W. Демак, H тыплам W =исм фазони х0 векторга силжитиш натижасида щосил былади. Бундай щолда (1) нинг ечимлари тыплами чизи=ли кыпхиллилик ташкил этади дейилади. Yüklə 1,93 Mb. Dostları ilə paylaş:
|