Аллакова Дилбар

МАВЗУНИ МУСТАЩКАМЛАШ УЧУН САВОЛЛАР .
1. Ч.т.с.ни Гаусс усули билан ечишни гапириб беринг .
2. +андай щолда ч.т.с. ечимга эга эмас .
3. +андай щолда чизи=ли тенгламалар системаси ягона ечимга эга ?
4. +андай щолда ч.т.с. чексиз кып ечимга эга ?
5. Бир жинсли чизи=ли тенгламалар системанинг ечимлари фазоси
деганда нимани тушунасиз ?
6. Чизи=ли кыпхиллилик нима ?


17-МАЪРУЗА
МАВЗУ: 2 ВА 3- ТАРТИБЛИ ДЕТЕРМИНАНТЛАР. ЫРНИГА +ЫЙИШЛАР ГРУППАСИ.


Р Е Ж А:
1. Икки номаълумли чизи=ли тенгламалар системаси ва иккинчи тартибли детерминантлар.
2. 3 номаълумли чизи=ли тенгламалар системаси ва 3-тартибли детерминантлар.
3. Ырнига =ыйишлар группаси.
4. Жуфт ва то= ырнига =ыйишлар.
АДАБИЁТЛАР [ 1, 2, 3 ].
1. Фараз этайлик бизга
a₁₁x₁ +a₁₂ x₂ = b₁ (1) a₂₁ a₂₂
a₂₁x₁ +a₂₂ x₂ = b₂ -a₁₁ - a₁₂
чизи=ли тенгламалар системаси берилган былсин. (1) ни x₁ ва x₂ га нисбатан ечсак
b₁ a₂₂ - b₂ a₁₂ b₂ a₁₁ - b₁ a₂₁
x₁=  , x₂=  (2)
a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁ a₁₁ a₂₂- a₁₂ a₂₁
лар щосил =иламиз. Бу ерда махраж
d= a₁₁ a₂₂ -a₁₂a₂₁ = (3)
кыринишда белгиланиб (3)га иккинчи тартибли детерминант дейилади. Демак, иккинчи тартибли детерминантни щисоблаш учун унинг бош диагоналидаги элементлари кыпайтмасидан иккинчи диагоналидаги элементлари кыпайтмасини айириш керак экан. (2) нинг суратидаги ифодаларни щам иккинчи тартибли детерминант кыринишда ёзиш мумкин:
d₁= b₁ a₂₂ - b₂ a₁₂= , d₂= b₂ a₁₁ - b₁ a₂₁ =
Булардан фойдаланиб (2) ни
x₁= d₁ / d , x₂= d₂ / d (4)
кыринишда ёзиш мумкин. (4) га (1) системани ечиш учун Крамер формуласи дейилади.
Мисол.
системани Крамер формулалари ёрдамида ечинг.
Бу ерда .
Демак, (4) га кыра x₁= -5 /( -5) = 1 ва x₂= -5 / (-5) =1.
Жавоби: x₁ = 1 ва x₂= 1.
2.Энди фараз =илайлик 3 та номаълумли

чизи=ли тенгламалар системаси берилган былсин. (5)ни x₁ ,x₂ , x₃ ларга нисбатан ечамиз. Бунинг учун унинг биринчи тенгламасини a₂₂ a₃₃ - a₂₃ a₃₁ га иккинчисини a₁₃ a₃₂ - a₁₂ a₃₃ га ва учинчисини a₁₂ a₂₃ - a₁₃ a₂₂ га кыпайтириб =sшамиз. У щолда
b₁ a₂₂ a₃₃ + b₂ a₁₃ a₃₂ + b₃ a₁₂ a₂₃ - b₃ a₁₃ a₂₂ - b₂ a₁₂ a₃₃ - b₁ a₂₃ a₃₂
x₁=  . (6)
a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₂₁ a₁₃ a₃₂+ a₃₁ a₁₂ a₂₃ - a₃₁ a₁₃ a₂₂ - a₂₁ a₁₂ a₃₃ - a₁₁ a₂₃ a₃₂
Бунинг махражини
d= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₂₁ a₁₃ a₃₂+ a₃₁ a₁₂ a₂₃ - a₃₁ a₁₃ a₂₂ - a₂₁ a₁₂ a₃₃ - a₁₁ a₂₃ a₃₂ =
=
деб белгилаб олсак , (7) га 3- тартибли детерминант дeйилали. (7) нинг чап томонидан уни щисоблаш =оидаси келиб чи=ади:

Осонлик билан кыриш мумкинки, агар (7) да 1-устун элементлари a₁₁ , a₂₁ ,a₃₁ ни мос равишда b₁ ,b₂ ,b₃ лар (озод щадлар устуни) билан алмаштирсак (6) нинг сурати щосил былади, яъни (7) дан
b₁ a₁₂ a₁₃
d₁= b₂ a₂₂ a₂₃ = b₁ a₂₂ a₃₃ + b₂ a₁₃ a_{3 2} +b₃ a₁₂ a₂₃ - b₃ a₁₃ a₂₂ - b₂ a₁₂ a₃₃ -
b₃ a₃₂ a₃₃ - b₁ a₂₃ a₃₂ . (8)


( 7) ва (8) га асосан (6) ни =уйидагича ёза оламиз: x₁= d₁ / d. Худди шунингдек, (5) ни x₂ ва x₃ га нисбатан ечсак x₂= d₂ / d , x₃= d₃ / d ларни щосил =иламиз. Бу ерда
a₁₁ b₁ a₁₃ a₁₁ a₁₂ b₁
d₂= a₂₁ b₂ a₂₃ , d₃ = a₂₁ a₂₂ b₂
a₃₁ b₃ a₃₃ a₃₁ a₃₂ b₃ .
Мисолар. 1).
2). чизи=ли тенгламалар системасини ечинг.
Шунинг учун щам x=4/4=1, y=2/4=1/2; z=2/4=-1/2.
Жавоби: (1, 1/2, 1/2).
3.Ырнига =ыйишлар группаси. Фараз этайлик, бизга n та элементга эга былган А тыплам берилган былсин. Бу тыплам элементларини 1,2,...,n лар билан номерлаб чи=айлик. У щолда А ни A={ 1,2,3,...,n} деб ёзиш мумкин.
1-таъриф. А тыпламни ызига биектив (ызаро бир =ийматли) акслантиришга ырнига =ышиш дейилади.
Тушунарлики =аралаётган тыпламда n! та ырнига =ыйиш мавжуд. Бундан кейин биз s ырнига =ыйишда 1, 2, 3, ... , n элементларнинг мос равишда i₁ ,i₂ , ... , i_n элементларга ытишини кыринишда белгилаймиз. Агар ва ырнига =ыйишлар берилган былиб i_k = j_k (k= 1,2,..., n) тенглик бажарилса s ва t ырнига =ыйишларга тенг дейилади ва s= t кыринишда ёзилади. га айний ырнига =ыйиш дейилади.
n та элементдан тузилган А тыпламдаги барча ырнига =ыйишлар тыпламини S_n билан белгилаймиз. S_n даги иккита s ва t ырнига =ыйишнинг кыпайтмаси деб аввало s кейин эса t ырнига =ыйишни бажариш натижасида щосил былган ырнига =ыйишга айтишга келишамиз.
Масалан: былсин.
У щолда былади.
1 - теорема.  S_n ;  - мультипликатив группа былади.
Исботи. Группа таърифидаги шартларнинг бажарилишини текширайлик.
1)  s,t S_n  s t S_n бажарилади;
2)  s,t,l S_n  s (t l)=(s t) l былади, чунки агар
былса, бу тенглик былиб, унинг чап томони
ынг томони щам дан иборат
3) былиб  s S_n учун s e=s бажарилади.
4) га тескариси былади, чунки ss ^-1 = e.
Шундай =илиб группа таърифидаги барча шартлар бажарилади.  S_n ;   группага n-тартибли симметрик группа деб юритилади.
Агар ырнига =ыйишда i₁ < i₂ < i₃ < . . .< i_n былса, у инверсияга эга эмас дейилади, акс щолда инверсияга эга дейилади.
Масалан: да инверсиялар сони 1 учун 1 та, 2 учун 2 та , 3 учун 1 та, 4 учун 0 та, жами 4 та инверсия бор.
Берилган ырнига =ыйишдаги инверсиялар сони жуфт былса, унга жуфт ырнига =ыйиш, агарда инверсиялар сони то= былса , у щолда то= ырнига =ыйиш дейилади .
Ырнига =ыйишдаги исталган 2 та элементнинг ырнини алмаштиришга транспозиция дейилади.
Агар i_k ва i_l ларнинг ырни алмаштирилса, у (i_k , i_l ) кыринишда белгиланади.
2- теорема. Транспозиция натижасида ырнига =ыйишларнинг жуфт-то=лиги ызгаради.
Исботи.
,
транспозиция натижасида щосил =илинган былсин. У щолда i_k ни i_l дан олдинга ытказиш учун l-(к-1) та инверсия бажариш керак. Ундан кейин i_l ни жойига (яъни i_l-1 дан кейинги жойга ) =ыйиш учун l-(k-1)-1 та инверсия, жами l-k+1+l-k+1-1=2(l-k)+1 та инверсия бажариш керак.
3-теорема. n! та ырнига =ыйишларнинг ярми n! / 2 таси жуфт ва =олган ярми n!/2 таси то= былади.
Исботи. Агар n! та ырнига =ыйишлардаги жуфтлари сони p, токлари сони q билан белгиласак, p+q=n! былади. Энди агар барча n! та ырнига =ышишларда транспозиция бажарсак, у щолда жуфтлар то=ларга,то=лари эса жуфтларга ытади, яъни p=q, демак, p=n!/2 ва q=n!/2.
4-теорема. Жуфт ырнига =ышишлар тыплами S*_n кыпайтиришга нисбатан группа щосил =илади.
Бунинг исботи =атъий келтиришни талабаларга хавола =иламиз.< S*_n; . > да бирлик элемент айний =ышиш былади. t га тескариси t^-1 S*_n былади.
Натижа. То= ырнига =ышишлар тыплами кыпайтиришга нисбатан группа былмайди.
Бунда бирлик элемент мавжуд эмас.
Мисол .
ни =арайлик . S₃ ={ f₀ , f₁ , f₂ , f₃ , f₄ , f₅ } деб белгилаб олсак, =уйидаги жадвалга эга быламиз. Бу жадвалда бирлик элемент e= f₀ , f₁ га тескариси f₂ ; f₂ га тескариси f₁ ; f₃ га тескариси f₃ ; f₄ га тескариси f₄ ; f₅ га тескариси f₅ . Шунингдек группанинг барча шартлари бажарилади, яъни S₃ ;   - мультипликатив группа былади.

.	f0	f1	f2	f3	f4	f5
f0	f0	f1	f2	f3	f4	f5
f1	f1	f2	f0	f4	f5	f3
f2	f2	f0	f1	f5	f3	f4
f3	f3	f5	f4	f0	f2	f1
f4	f4	f3	f5	f1	f0	f4
f5	f5	f4	f3	f2	f1	f0