«amaliy matematika va informatika» kafedrasi

1.2. Chekli ayirmali tenglamalar sistemasini uch diagonalli sistemaga keltirish

Endi faraz qilaylik,

(1.1.15)
xarakteristik tenglama m ta, karraliklari mos ravishda larga teng bo’lgan har xil ildizlarga ega bo’lsin. Bu ildizlarga (1.1.10) tenglamaning quyidagi xususiy yechimlari to’g’ri keladi:
(1.1.16)
Bu yerda bo’lgani uchun (1.1.15) ning yechimlari soni p ga teng.
Agar o’zaro chiziqli erkli bo’lib ning har qanday yechimini ularning chiziqli kombinatsiyasi shaklida ifodalash mumkin bo’lsa, u holda bir jinsli tenglamaning yechimi fundamental sistema tashkil etadi deyiladi.
2-teorema. (1.1.15) xarakteristik tenglamaning ildizlariga mos keladigan (1.1.16) yechimlar fundamental sistemani tashkil etadi.
Isbot. (1.1.16) funksiyalar sistemasini orqali belgilab olib, ularning dastlabki qiymatlaridan tuzilgan quyidagi determinantni qaraymiz:

Agar (1.1.15) xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari tub bo’lsa, u holda ularga mos keluvchi (1.1.16) sistema bo’lib, Vandermond determinanti bo’ladi va shuning uchun . Umumiy holda ham ekanini ko’rsatish mumkin. Bu prinsip jihatdan qiyin emas, lekin katta hisoblashlarni bajarishga to’g’ri keladi. Biz bunga to’xtalib o’tirmaymiz. Endi deb hisoblab, ning fundamental sistema ekanini ko’rsatamiz. Aksincha, ya’ni bu sistemani chiziqli bog’langan deb faraz qilaylik. U holda barchasi bir vaqtda nolga teng bo’lmagan shunday topiladiki,

barcha p lar, xususiy holda uchun o’rinli bo’ladi.
Lekin shartda sistema

faqat trivial yechimga ega bo’ladi. Shunday qilib, sistema chiziqli erkli ekan. Endi (1.1.10) sistemaning har bir yechimi bu sistemaning chiziqli kombinatsiyasi ekanini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham,

sistema ixtiyoriy uchun yechimga ega. Demak ixtiyoriy yechim z_n uchun shunday larni ko’rsatish mumkin, bir jinsli tenglamaning yechimi

uchun bilan ustma-ust tushadi. Ayirmali tenglamaning dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan yechimining yagonaligidan barcha n lar uchun ligi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
3-teorema. Karraliligi ga teng bo’lgan ildizga mos keluvchi (1.1.10) tenglamaning xususiy yechimlaridan tuzilgan
(1.1.17) chiziqli kombinatsiyalarningto’plami ixtiyoriy - darajali ko’phadlar uchun
(1.1.18)
funksiyalar to’plami funksiya ga nisbatan darajali ko’phad bo’lgani uchun (1.1.17) ko’rinishdagi har bir funksiyani (1.1.18) ko’rinishda yozish mumkin. Ikkinchi tomondan, ixtiyoriy -darajali ko’phad bo’lsin. Ixtiyoriy k tugun uchun -darajali har bir ko’phad o’zi uchun interpolyatsion ko’phad bo’ladi. Shuning uchun ham Nyuton interpolyatsion formulasida

deb olish mumkin. Bundan tashqari, va deb olsak, u holda

ga ega bo’lamiz, bu yerda . Bu tenglikni quyidagicha yozib olish mumkin:

Demak, (1.1.18) ko’rinishdagi har bir funksiyani (1.1.17) ko’rinishda yozish mumkin. Teorema isbot bo’ldi.
Shunday qilib, (1.1.16) fundamental sistema o’rniga ushbu

fundamental sistemani olish mumkin.