«amaliy matematika va informatika» kafedrasi

5-misol. Quyidagi

bir jinsli chiziqli-ayirmali tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish. Bu tenglamaning xarakteristik ko’phadi bo’lib, uning ildizlari va bo’lgani uchun umumiy yechim bo’ladi

II.BOB PROGONKA USULI HAQIDA

2.1. Progonka usuli haqida qisqacha ma’lumot

Quyidagi algebraik sistemani qarayik.
(1)
(2), (3)
bunda 
Yechish algoritmi. Sistema (1) - (3)ni yechishning sodda usulini ko’rsatish lozim. Bunda ikkinchi tartibli ayirmali tenglama (1) ni uchta birinchi tartibli ayirmali tenglamaga keltirish progonka metodining asosiy go’yasi bo’lib hisoblanadi.
Birinchi tartibli tenglamalar umuman olganda chiziqli bo’lmagan tenglamalardan iborat bo’ladi. Quyidagi recurrent munosabat o’rinli bo’lsin deb hisoblaymiz.
(4)
Bu yerda α_i+1 va β_i+1 no’malum koeffisientlar. Munosabat (4) ga asosan   ifodani (1) ga qo’yamiz

ni hosil qilamiz. Oxirgi ifodaga (4) dan y_i ning qiymatini qo’yamiz:

tengliklar o’rinli bo’lsa, Bundan α_i+1 uchun rekurrent formula
(5)
va β_i+1 ni hisoblash uchun recurrent formula
1 (6)
ni hosil qilamiz.
Ushbu formulalarni chiqarishda formula (4)dan kelib chiqdik. Agarda α_i va β_i koeffisientlar ma’lum bo’lsa va γ_N ning qiymati xam ma’lum bo’lsa u holda chapdan o’ngga (i+1 dan i ga) xarakatlanib barcha γ_i larni ketma-ket topamiz.
Koeffisientlar α_i , β_i uchun tenglamalar chiziqli bo’lmagan tenglamalardan iborat, ular ushbu funksiyalarning qiymatlarini ikkita qo’shni tugunlar orqali bog’laydi.
Parametrlar α_i , β_i uchun masala chapdan o’ngga γ_i uchun esa teskari yo’nalishda yechiladi. Xar bir α,β,γ uchun Koshi masalasini yechish lozim. Bu funksiyalar uchun boshlang’ich shartlarni topishda chegaraviy shartlar (2) va (3) dan foydalanamiz. Formula (4) i=1,2,…, N-1 lar uchun o’rinli bo’lganligidan, i=0 da

ga ega bo’lamiz, boshqa tomondan (2)ga asosan

ekanligi ma’lum. Shu sababli ularni tenglashtirish natijasida
(7)
(8)
larni hosil qilamiz. Shunday qilib α_i , β_i funksiyalar uchun Koshi masalasini hosil qilamiz: α uchun bu masala (5) , (7)
dan iborat β_i uchun esa (6), (8) dan iborat (to’g’ri progonka formulalari). So’ngra barcha α_i va β_i i=1,2, … N lar uchun aniqlangandan keyin , γ_N chegaraviy qiymatni topish zarur. ν Ushbu tenglamalar sistemasidan topiladi.

bundan  bo’lganda 
( 9)
ekanligini aniqlaymiz. Shunday qilib, γ_i ni aniqlash uchun Koshi masalasi (4), (9) ni hosil qilamiz (teskari progonka formulalari) Ushbu bayon qilingan metod progonka metodi (o’ng progonka) deb ataladi. O’ng progonka metodining barcha formulalarini yig’ib, ularni kompyuterga dastur tuzishga qulay ko’rinishda yozamiz:
(10)

Bunda yuqoridagi strelkalar hisoblash yo’nalishini ko’rsatadi:

Metodning turg’unligi. Progonka metodi formulalarini formal ravishda chiqardik. Biz bu formulalarda 

ifodalarga bo’lish amalini bajardik, bu esa qachon mumkin ekanligini ko’rsatmadik. Formulalar (10) o’rinli bo’ladigan yetarlilik shartlarini ko’rsatamiz. Bu shartlar quyidagi ko’rinishga ega.
(11)
Ushbu shartlar bajarilganda

larda o’rinli ekanligini ko’rsatamiz. Dastlab  ekanligini ko’rsatamiz, chunki   ekanligidan   larda bo’lishi kelib chiqadi.
Ushbu ayirmani qaraylik
.
Bunda  bo’lishi, ya’ni

ekanligi kelib chiqadi.
Bundan ko’rinadiki,

bo’ladi,

bo’lganda formula (9) dagi maxrajni quyidan baholaymiz:

chunki 

Shunday qilib, formula (10) ning maxrajlari (11) shartlar bajarilganda noldan farqli bo’ladi. Ta’kidlash lozimki, hech bo’lmaganda bitta i=i₀ nuqtada 

sharti bajarilgan bo’lsa,
u holda 

Bunday holda 

sharti ortiqcha bo’ladi, chunki

Bundan (11) shartlar bajarilganda, masala (1)-(3) formulalar (10) bilan aniqlanadigan yagona yechimga ega bo’ladi.
Formulalar (10) bilan kompyuterda hisoblashlar taqribiy, chekli sondagi raqamlar bilan olib boriladi. Yaxlitlash xatolari sababli masala (1)-(3) ning yechimi γ_i o’rniga, o’sha masalaning o’zgartirilgan koeffisientlar 

miqdorlar bilan olingan yechimi 

Shunda tabiiy savol tug’iladi: yaxlitlash xatolarining to’planib borishi evaziga aniqlik yuqolib ketmaydimi, hisoblashlarni davom ettirish olinayotgan miqdorlarning o’sishi evaziga mumkin bo’lmasdan qolmaydimi. Progonka metodida,

Shartiga asosan
ni topishda yo’l qo’yilgan hato

ni topishda ortib ketmaydi. Xaqiqatdan ham tenglamalar

dan 

ekanligi kelib chiqadi, ya’ni

bo’ladi, chunki   Bu esa progonka metodining turg’unligini ko’rsatadi. Arifmetik amallar soni. Progonka metodida formula(10) bo’yicha hisoblashlarga sarflanadigan arifmetik amallarni hisoblaymiz. 

ni hisoblash i ning har bir qiymatida (i=1,2.....,N-1) bitta ayirish bitta qo’shish amali bajariladi, ya’ni tahminan 2N ta amal bajariladi. Shunday qilib α_i+1 hisoblash uchun tahminan 3N arifmetik amal sarflanadi.
β_i+1 ni hisoblash uchun suratida 2N amal va bilish amali bilan birgalikda jami 3N amal bajariladi. γ_i ni hisoblash uchun i ning har bir qiymatida bitta ko’paytirish va bitta qo’shish amali jami2N amal talab qilinadi. Hammasi bo’lib 3N+3N+2N=8N arifmetik amal sarflanadi, bunda N sistema (1)-(3) dagi noma’lumlar soni.
Ushbu formulalarni chiqarishda formula (4)dan kelib chiqdik. Agarda α_i va β_i koeffisientlar ma’lum bo’lsa va γ_N ning qiymati xam ma’lum bo’lsa u holda chapdan o’ngga (i+1 dan i ga) xarakatlanib barcha γ_i larni ketma-ket topamiz.
Koeffisientlar α_i , β_i uchun tenglamalar chiziqli bo’lmagan tenglamalardan iborat, ular ushbu funksiyalarning qiymatlarini ikkita qo’shni tugunlar orqali bog’laydi.
Parametrlar α_i , β_i uchun masala chapdan o’ngga γ_i uchun esa teskari yo’nalishda yechiladi. Xar bir α,β,γ uchun Koshi masalasini yechish lozim. Bu funksiyalar uchun boshlang’ich shartlarni topishda chegaraviy shartlar (2) va (3) dan foydalanamiz. Formula (4) i=1,2,…, N-1 lar uchun o’rinli bo’lganligidan, i=0 da

XULOSA

Chekli ayirmali tenglamalar sistemasini uch diagonalli sistemaga keltirish usullari va progonka usuli hisoblash matematikasining ancha murakkab masalalar sirasiga kiradi. Chekli ayirmali tenglamalar sistemasini uch diagonalli sistemaga keltirishning boshlang’ich muammosi – bu chekli ayirmali tenglamalar sistemasini uch diagonalli sistemaga keltirish masalasining yechimlarining mavjudligi, soni va ular yotgan oraliqni topish muammolari o’rganilgan, bular aniq misollarni yechish orqali izohlanadi.
Chekli ayirmali tenglamalar sistemasini uch diagonalli sistemaga keltirish masalasining yechimlarining tadbiqlari, masalan, fizik-mexanik jarayonlar masalalarida qo’llanilishi ko’rsatilgan. Chekli ayirmali tenglamalar sistemasini uch diagonalli sistemaga keltirishga doir bir qator amaliy masalalarni sonli yechish masalasi qaraladi. Progonka usuli va uning imkoniyatlari haqida to’liq ma’lumotlar keltirib o’tilgan va unga doir misollarning amaliy ishlanishi keltirilgan.
Men ushbu kurs ishimda progonka usulidan foydalanib bir qator aniq amaliy masalalar yechimlarini, hisoblash algoritmini va blok-sxemasini tuzdim, shunga ko’ra C# dasturida bir necha masalalarning dasturlarini ishlab chiqdim.
Ushbu kurs ishini bajarish davomida ko’plab yangi bilimlarni o’rgandim va ularning amaliy hayotga tadbiq qilishni o’rgandim. O’rgangan bilimlarim asosida yurtimiz rivojiga hissa qo’shaman degan umiddaman.