B. S. Zakirov oliy matematikadan loyiha-hisob ishlari bo’yicha topshiriqlar to’plami va ularni bajarishga doir ko’rsatmalar

 
 
 
 
 
 
 
 
Toshkent 
TDTU 2020 
 
 

---

3 
1-
§
.
 
Loyiha hisob ishini bajarish namunasi
 
 
1-masala. 
Limitlarni hisoblang. 
a) 
2
2
3
3 5
2
3
10
3
→−
−
−
+
+
lim
;
x
x
x
x
x
b) 
2
5
5
4 6
3
7
9
→
−
−
+
+
lim
;
x
x
x
x
x
v)
1
5
2
8
3
→−
+ −
− −
lim
.
x
x
x
Yechish.
a) 
2
2
3
3
3
3 5
2
0
3 2
1
2
1
5
3
10
3
0
3 3
1
3
1
8
→−
→−
→−
−
−
− +
+
+
 
=
=
= −
= −
 
+
+
+
+
+
 
(
)(
)
lim
lim
lim
.
(
)(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
b) 
2
5
5
3
5
4
5
4
6
3
4 6
3
3
7
9
7
9
1
→
→
−
−
−
−

 
=
=
= −
 
+
+

 
+
+
lim
lim
.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
v)
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
1
1
5
2
5
2
8
3
5
2
0
0
8
3
8
3
8
3
5
2
→−
→−
+ −
+ +
− +
+ −
 
=
=
=
 
− −
 
− −
− +
+ +
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
5
4
8
3
1
8
3
8
3
3
2
5
2
8
9
5
2
1
5
2
→−
→−
→−
+ −
− +
+
− +
− +
=
= −
= −
+ +
− −
+ +
− +
+ +
(
)
(
)
lim
lim
lim
.
(
)
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2-masala.
Limitlarni hisoblang. 
a) 
7
2
3
2
15
−
→
+




+


lim
;
x
x
x
x
b) 
2
0
1
4
3
→
−
cos
lim
;
x
x
x
v)
0
1 3
2
→
+
ln(
)
lim
.
x
x
arctg x
Yechish. 
a) 
( )
7
7
2
3
2
3
1
1
1
2
15
2
15
−
−

→
→
+
+




=
+
−
=




+
+




lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
84
2
15
84
84
15
12
2
15
2
42
2
15
12
1
2
15
→
→
+ 



−
+
+


+
→
−


+
=
=
=


+


lim
lim
lim
,
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
x
bu yerda 
1
1
→


+
=




lim
t
t
e
t
ikkinchi ajoyib limidan va
=
x
y e
funksiyaning 
uzluksizligidan foydalandik. 

---

4 
b) 
2
2
2
2
0
0
0
1
4
0
2
2
8
2
8
8
1
3
0
3
3
2
3
3
→
→
→
−
 


=
=
=
=  =
 


 


cos
sin
sin
lim
lim
lim
,
x
x
x
x
x
x
x
x
x
bu yerda 
0
1



→
=
sin
lim
birinchi ajoyib limidan foydalandik. 
v)
0
0
0
0
3
1 3
1 3
1 3
0
3
3
3
3
3
1
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
→
→
→
→
+
+
+
 
=
=
=
=  =
 
 
ln(
)
ln(
)
lim
ln(
)
lim
lim
,
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
arctg x
arctg x
arctg x
x
x
bu yerda 
0
1
1



→
+
=
ln(
)
lim
va 
0
1



→
=
lim
arctg
limitlardan foydalandik. 
3-masala.
Berilgan funksiyani uzluksizlikka tekshiring va grafigini chizing. 
 
2
4
1
2
1
1
1
2
1
+
 −


=
+
−  




,
( )
,
,
.
x
x
f x
x
x
x
x

Yechish.
( )
f x
funksiya 
1
1 1
− −
−
(
;
), (
; )
va 
1
− +
(
;
)
intervallarda elementar 
funksiyalar orqali aniqlanganligi uchun, funksiya bu intervallarda uzluksiz bo’ladi. 
Shuning uchun berilgan funksiya faqat 
1
1
= −
x
va 
2
1
=
x
nuqtalardagina uzilishga 
ega bo’lishi mumkin. 
1
1
= −
x
nuqta uchun
1 0
1
1
4
3
→− −
→−
−
=
+
=
lim
( )
lim(
)
;
x
x
x
f x
x
2
1 0
1
1
2
1
3
→− +
→−
−
=
+ =
lim
( )
lim(
)
.
x
x
x
f x
x
Demak, 
( )
f x
funksiya 
1
1
= −
x
nuqtada uzluksiz bo’ladi. 
2
1
=
x
nuqta uchun
2
1 0
1
1
2
1
3
→ −
→

=
+ =
lim ( )
lim(
)
;
x
x
x
f x
x
1 0
1
1
2
2
→ +
→

=
=
lim
( )
lim
.
x
x
x
f x
x
Demak, 
( )
f x
funksiya 
2
1
=
x
nuqtada 1-tur uzlulishga ega bo’ladi. 

---

5 
4-masala.
Berilgan funksiyani ko’rsatilgan nuqtalarda uzluksizlikka 
tekshiring.
1
2
1
2
5
1
2
3
−
=
+
=
=
( )
;
,
.
x
f x
x
x
Yechish.
1
2
=
x
nuqta uchun
1
2
2 0
2
2
5
1
5
1 0 1 1
−
−
→ −
→

=
+ =
+ = + =
lim
( )
lim(
)
;
x
x
x
x
f x
1
2
2 0
2
2
5
1
5
1

−
→ +
→

=
+ =
+ = 
lim
( )
lim(
)
,
x
x
x
x
f x
ya’ni
1
2
=
x
nuqtada 
( )
f x
funksiya 2-tur uzlulishga ega bo’ladi. 
2
3
=
x
nuqta uchun
1
2
3 0
3
3
5
1
5 1 6
−
→ −
→

=
+ = + =
lim
( )
lim(
)
;
x
x
x
x
f x
1
2
3 0
3
3
5
1
5 1 6
−
→ +
→

=
+ = + =
lim
( )
lim(
)
,
x
x
x
x
f x
ya’ni
2
3
=
x
nuqtada 
( )
f x
funksiya uzluksiz bo’ladi. 
5-masala.
Berilgan funksiyalarni hosilalarini toping.
a) 
3
7
4
4
3
2
5
9
=
−
+
+
+
;
y
x
x
x
x
b) 
3
4
5
4
3
2
4
7
1
=
+
−
+
−
(
)
;
(
)
y
x
x
x
v) 
3
7
2
6
=

cos
;
y tg x
x
g) 
3
3
5
7
7
−
=
log (
)
;
sin
x
y
x
d) 
(
)
5
3
=
−
arccos
sin(
)
.
x
y
x

---

6 
Yechish.
a) 
1
3
6
5
6
3
5
5
4
12
5
4
2 7
3
4
14
3
3
2
2
−
 = 
−  −
+
+
=
+
+
+
(
)
.
x
y
x
x
x
x
x
x
x
b) 
1
3
3
5
5
4
2
4
7
2
4
7
3
4
1
5
−
−

=
+
−
+
−
+  −
−
=
(
) (
)
(
)(
)
y
x
x
x
x
x
2
5
3
5
24
16
12
1
5 2
4
7
+
=
−
−
+
−
.
(
)
x
x
x
x
v) 
3
7
3
7
2
7
2
6
2
6
3
2
2
6




=

+

=

+
(
) cos
(cos
)
(
) cos
y
tg x
x
tg x
x
tg x tg x
x
2
7
3
7
7
6
3
7
2
6
2
6
2
6
6
42
2
6
2


+
 −
=
−

cos
( sin
)(
)
sin
.
cos
tg x
x
tg x
x
x
x tg x
x
x
g) 
3
3
3
3
3 2
5
7
7
5
7
7
7


−

−
− 
=
=