T eorema. Dekart koordinatalar sistemasida vektorning berilgan bazisdagi koordinatalari, uning koordinatalar o'qlariga tushirilgan proeksiyalari bilan ustma-ust tushadi.
Isbot. Bizga ortonormal bazis berilgan bo'lsa, bularning boshlarini nuqtaga joylashtirib koordintalar sistemasini kiritaylik.
Agar bo'lsa, vektorning boshini koordinata boshiga joylashtirib, uning oхirini bilan belgilaymiz. Agar nuqtaning koordinata o'qlariga ortogonal proeksiyalarini harflari bilan belgilasak tengliklarni hosil qilamiz.
Ikkinchi tomondan kesmalarning kattaliklari mos ravishda sonlariga teng bo'lgani uchun munosabatlarni hosil qilamiz.
Natiyja-1. Isbot. Bizga -o'q berilgan bo'lsin: shunday koordinatalar sistemasi kiritamizki, koordinata o'qi bilan ustma-ust tushsin.
Agar
, ,
bo'lsa, teoremaga ko'ra va , tengliklarni hosil qilamiz. Lekin vektorlarni qo'shganda ularning koordinatalari mos ravishda qo'shilgani uchun munosabatni olamiz.
Affin koordinatalar sistemasiga nisbatan to’g’ri chiziqning va nuqtalari berilgan bo’lsin. to’g’ri chiziq tenglamasini yozaylik. to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori deb ( ; )vektorni olsak, (3) ga asosan to’g’ri chiziq tenglamasi ushbu
(5)
tenglama bilan ifodalanadi. Bu berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasidir.
To’g’ri chiziqning kesmalar bo’yicha tenglamasi. To’g’ri chiziq o’qini nuqtada o’qini nuqtada kessin, u holda ikki nuqtadan o’tgan to’g’ri chiziq tenglamasi (5) dan foydalansak (39-chizma)
, yoki (6)
(6) da a,b sonlar to’g’ri chiziqning koordinata o’qlaridan ajratgan kesmalari (6) ni to’g’ri chiziqning kesmalar bo’yicha tenglamasi deyiladi.
