CopertinaAnnamaria

(4.4)
σ
b = xy2 σ_x
(4.5)

1. 
   = ¯y − b⋅¯x
   
2. 
   è quindi il rapporto fra la covarianza di x e y e la varianza di x.
   

a la differenza fra la media delle y e b per la media delle x e coincide con il
coef'ciente di correlazione se x e y hanno la stessa varianza.
Noti a e b , siamo in grado di scrivere l’equazione della retta di regressione che interpola la nuvola di punti nello scatterplot e di calcolare i nuovi valori assunti dalla y 'ssando valori per la x.
Ad esempio, parlando di velocità di lettura, sapendo che a scopo esempli'cativo, a = 12 e b = 3, potremo stimare la velocità di lettura di un bambino della quarta elementare usando la seguente formula:
(4.6) velocità di lettura = 12 + 3 × numero di libri letti
Per ogni nuovo libro letto, la velocità aumenta di 3 unità (1 libro => velocità 15; 2 libri => velocità 18; 5 libri => velocità 27). Un bambino che non ha letto alcun libro, avrà una velocità di lettura pari a 12 ossia al valore del parametro a.
Si tenga presente un aspetto importante: l’ambito statistico è molto diverso da quello analitico. Nell’ambito statistico le variabili sono “casuali”, il modello stesso di regressione include una componente “casuale”. È indispensabile, pertanto, tenere conto di alcuni aspetti che completano il processo di stima:

• 
  i parametri a e b sono essi stessi delle variabili casuali e pertanto i valori che si determinano rappresentano delle “stime” puntuali cui sono associati dei livelli di signi'catività;
  
• 
  è necessario effettuare una profonda analisi dei residui per valutarne la normalità e l’omoschedasticità (assunti di base del modello) e anche una stima dell’errore che si commette. Una corretta analisi dei residui ci fornisce informazioni importanti sulla validità del modello adottato ovvero sulla necessità di effettuare trasformazioni sulle variabili o addirittura investigare modelli formalmente più complessi.
  

Regressione lineare multivariata

Molto spesso per spiegare un fenomeno non basta studiare soltanto una tipologia di eventi a esso collegata. Risulta più ef'cace nell’analisi introdurre più variabili per considerare come ciascuna di esse è collegata al fenomeno che stiamo studiando. Si inseriscono così altre variabili, x₁, x₂, x₃, … , x_n, scelte innanzitutto a partire da un framework teorico e logico che può giusti'care il modello statistico che stiamo elaborando. Il passaggio da una variabile indipendente a più variabili indipendenti segna il passaggio dall’analisi bivariata a quella multivariata e di conseguenza da una regressione (lineare) semplice a una multivariata.
In questo caso non possiamo fare af'damento sulla rappresentazione gra'ca poiché all’aumentare delle variabili, e di conseguenza, delle dimensioni di cui è composto il sistema, non è possibile predisporre una visualizzazione della relazione individuata. Riusciamo a rappresentare gra'camente la “forma lineare individuata” solo in modelli con due variabili indipendenti come un piano in un sistema tridimensionale. Tuttavia quello che abbiamo detto (e “visto” in Figura 4.1) per la regressione lineare semplice è suf'ciente per comprendere cosa accade quando lavoriamo con più variabili.
Aumentare il numero di variabili nell’analisi aumenta l’accuratezza della predizione nel modello statistico. Determinare i voti degli studenti del primo anno dell’università a partire unicamente dal voto della maturità è molto diverso dal tentare di predirli (statisticamente parlando, meglio stimarli) tenendo in considerazione anche i dati anagra'ci, il numero di ore di studio per settimana, il livello di motivazione.
L’equazione del modello statistico con più predittori può quindi essere scritta come segue:
(4.7)