D. Djanabayev, Sh. Murodov, A. Xolmurzayev chizma geometriya

12.7-§. Ikkinchi tartibli sirtlar o’zaro kesishishidagi maxsus hollar

Ikkinchi tartibli sirtlarning o’zaro kesishishi ko’pgina geometrik va muhandislik amaliyotidagi masalalarni o’z ichiga oladi.
Ma’lumki, ikkinchi tartibli sirtlar algebrik sirtlar turkumiga kiradi. SHuning uchun ularning kesishish chiziqlari ham algebraik egri chiziqlar bo’ladi.

Ta’rif. Ikki sirt kesishish chizig’ining tartibi sirtlar tartibining ko’paytmasiga tengdir.

Shunga ko’ra, ikkita ikkinchi tartibli sirt kesishganda to’rtinchi tartibli kesishish chizig’i hosil bo’ladi Φ₁²∩Φ₂²=m⁴. Sirtlarning kesishish chizig’i, kesishuvchi sirtlarning vaziyati va shakliga qarab, turli tartibli egriliklarga ajraladi.

Masalan, 4-tartibli egri chiziq 4=3+1, 4=2+1+1, 4=2+2, 4=1+1+1+1 kabi tartibdagi egri chiziqlarga ajralishi mumkin. Bularning geometrik ma’nosi quyidagicha:

• 
  To’rtinchi tartibli egri chiziq bitta uchinchi tartibli egri chiziqqa va to’g’ri chiziqqa ajralgan. Umumiy to’g’ri chiziqli yasovchiga ega bo’lgan har qanday chiziqli ikkinchi tartibli ikki sirtning kesishuvida bu holni ko’rish mumkin.
  
• 
  To’rtinchi tartibli egri chiziq bitta ikkinchi tartibli egri chiziqqa va ikkita to’g’ri chiziqqa ajraladi.
  
• 
  To’rtinchi tartibli egri chiziq ikkita ikkinchi tartibli egri chiziqqa ajralgan. Bu holni keyinrok batafsil ko’rib chikamiz.
  
• 
  To’rtinchi tartibli egri chiziq to’rtta to’g’ri chiziqqa ajraladi. Bu holni umumiy o’qqa ega bo’lgan aylanma va elliptik silindrlar misolida ko’rish mumkin.
  

12.7.1. Monj teoremasi va uning xususiy xollari

Teorema: Agar ikki o’zaro kesishuvchi ikkinchi tartibli sirtlarning tashqarisida yoki ichkarisida biror uchinchi ikkinchi tartibli sirtni urinma vaziyatda chizish mumkin bo’lsa, u holda berilgan sirtlar ikkita tekis egri chiziqlar bo’yicha kesishadi. Egri chiziqlarning tekisliklari urinish nuqtalarini tutashtiruvchi to’g’ri chiziq orqali o’tadi.

Monj teoremasi muhandislik amaliyotida ikkinchi tartibli ikki sirtning tashqarisida yoki ichkarisida sfera chizish mumkin bo’lgan hollarda ularning kesishish chizig’ini yasash uchun qo’llaniladi. Monj teoremasiga doir bir necha misollarni ko’ramiz. Chizmalarni frontal proeksiyalar tekisligidagi tasvirlar orqali berilgan.

Masalan, 12.26-rasmda o’qlari kesishuvchi holda joylashgan ikki aylanma kesishuvchi silindrlar ichiga sferalar chizilgan. Teoremaga asosan bu silindrlar ikki ℓ₁″ va ℓ₂″ ellipslar bo’yicha kesishadi. 12.27–rasmda aylanma silindr bilan konusning kesishish chizig’ini yasash ko’rsatilgan. Bunda silindr va konusga urinuvchi sirt sfera, sirtlarning kesishish chiziqlari ℓ₁″ va ℓ₂″ ellipslardir.

a) b)
12.26-rasm

a) b)
12.27-rasm



12.28-rasm 12.29-rasm
Monj teoremasining truboprovodlarni loyihalashda qo’llanilishini mumkin. O’qlar o’zaro O″ nuqtada kesishuvchi har xil diametrli ikki silindrik I va II trubalar berilgan. Ularni tutashtiruvchi oraliq trubalar yasash kerak bo’lsin (12.28-rasm). Buning uchun avvalo trubaning i₁˝ va i₂˝ o’qlarini ℓ″ aylana yoyi bilan tutashtiramiz. So’ngra bu yoyni teng bo’laklarga bo’lib, bo’linish nuqtalarini sferalarning markazi sifatida qabul qilamiz. r₁ va r₂ radiuslarni proportsional o’zgartirilgan holda sferalar chiziladi. Har ikki yonma-yon sferalarga urinmalar o’tkazib, konuslar hosil qilinadi. Ikkita yonma-yon konuslar umumiy ichki sferaga ega bo’lgan uchun ellipslar bo’yicha kesishadi. Ular chizmada kesma tarzida tasvirlangan.
12.29-rasmda xuddi 12.28-rasmdagidek va Monj teoremasiga asosan har xil diametrli uchta 1, 2 va 3 aylanma silindrlarning bir-biriga 13 va 23 konus sirti orqali o’tishi ko’rsatilgan.

12.7.2. Umumiy simmetriya tekisligiga ega bo’lgan ikkinchi
tartibli sirtlarning kesishuvi

Teorema: Agar kesishuvchi ikkinchi tartibli ikki sirt umumiy simmetriya tekisligiga ega bo’lsa, u holda ularning kesishish chizig’i simmetriya tekisligida ikkinchi tartibli chiziq bo’lib proeksiyalanadi

Isboti. Umumiy simmetriya tekisligiga ega bo’lgan ikkinchi tartibli ikki sirt berilgan bo’lsin. Ma’lumki, ular to’rtinchi tartibli m⁴ egri chiziq bo’yicha kesishadi. Sirtlarning simmetriya tekisligi ularning kesishish chizig’ining ham simmetriya tekisligi bo’ladi. Bu tekislikka perpendikulyar bo’lgan biror tekislik bilan to’rtinchi tartibli egri chiziq kesilsa, unda to’rtta nuqta hosil bo’ladi. Shu nuqtalardan bir jufti simmetriya tekisligining bir tomonida, ikkinchi jufti uning ikkinchi tomonida yotadi. Bu nuqtalar ham simmetrik joylashgan bo’ladi. Demak, to’rtinchi tartibli egri chiziqning shunday ikki nuqtasi mavjudki, ular simmetriya tekisligiga nisbatan simmetrik joylashadi. Shuning uchun ularning simmetriya tekisligidagi ortogonal proeksiyalari ustma-ust tushadi. To’rtinchi tartibli egri chiziqning hamma nuqtalari shu tarzda proeksiyalansa, ikkinchi tartibli egri chiziq hosil bo’ladi.


12.30-расм


Bu teoremaning isbotini analitik usulda ham ko’rsatish mumkin. Umumiy frontal simmetriya tekisligiga ega bo’lgan aylanma konus va sfera berilgan bo’lsin (12.30-rasm). Bu ikki sirt ham ikkinchi tartibli bo’lgani uchun ular to’rtinchi tartibli egri chiziq bo’yicha kesishadi.
z = kx yasovchi to’g’ri chiziq oz o’q atrofida aylantirilsa, aylanma konus sirti hosil bo’ladi. U holda,bu konusning tenglamasi
z²=k² (x² + y²) (1)
ko’rinishda yoziladi. Markazi ox o’qi bo’yicha ℓ masofaga siljigan sferaning tenglamasini
(x-l)² + y² + z²=R² (2)
ko’rinishda yozish mumkin. (1) va (2) tenglamalar birgalikda bitta sistemaga olinsa, ular konus bilan sfera sirtlarining kesishish chizig’ini ifodalaydi:


(3)
yoki
(4)

4-sistemaning ikkinchi tenglamasida u² o’rniga birinchi tenglamadagi y² ning qiymati quyilsa, unda kesishish chizig’ining xOz, ya’ni V tekisligidagi (simmetriya tekisligidagi) proeksiyasi hosil bo’ladi:

(x-l)² + z² / k²-x² + z²=R² (5)
Ba’zi soddalashtirishlardan so’ng (5) ni quyidagi ko’rinishda yoziish mumkin. (6)
Bu erda , deb belgilansa, (6) tenglamani
z²=2px + Q (7)
ko’rinishda yozish mumkin. Natijada, umumiy simmetriya tekisligiga ega bo’lgan aylanma konus va sfera sirtlari kesishish chizig’ining shu tekislikdagi proeksiyasi parabola (7) ekanligi kelib chiqadi.
(5) tenglamada z = 0 deb olinsa, parabola uchining koordinatasi topiladi:
. (8)
Agar ℓ=0 deb olinsa, sferaning markazi aylanma konus uchi bilan bir nuqtada bo’linadi, u holda (6) tenglamaning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
(9)
yoki
(10)
Bu tenglama (10) ikkita parallel to’g’ri chiziq tenglamasini ifodalaydi. Bu holda (6) parabola frontal tekislikda ikki parallel to’g’ri chiziqqa ajralgan bo’ladi, ya’ni 4-tartibli egri chiziq ikkita aylanaga ajraladi. Haqiqatan, umumiy o’qqa ega bo’lgan ikki aylanma sirt doim aylanalar bo’yicha kesishadi.