D. Djanabayev, Sh. Murodov, A. Xolmurzayev chizma geometriya

12.8-§. Ikkinchi tartibli sirtlarning o’zaro kesishishiga oid teoremalar

1-teorema: Agar ikkinchi tartibli ikki sirt bitta tekis egri chiziq bo’yicha kesishsa, u holda ular yana biror egri chiziq bo’yicha kesishadi va bu ham tekis egri chiziq bo’ladi.

12.31-расм.


Isboti. Teorema birinchi qismining shartiga asosan ikkinchi tartibli ikki sirt bitta tekis egri chiziq bo’yicha kesishadi. Bu egri chiziq faqat ikkinchi tartibli bo’lishi mumkin. CHunki ikkinchi tartibli sirtlarni ixtiyoriy tekislik bilan kesganda ham ikkinchi tartibli chiziq xosil bo’ladi. Ikkita ikkinchi tartibli sirt to’rtinchi tartibli egri chiziq bo’yicha kesishgani uchun ikkinchi noma’lum bo’lgan egri chiziq ham Monj teoremasiga asosan ikkinchi tartibli egri chiziq bo’ladi. 12.31–rasmda umumiy asosi aylana bo’lgan silindr va konus sirtlari berilgan. Kesishuvchi bu sirtlar ikkinchi tartibli va bitta umumiy aylana bo’yicha kesishgan. Teorema shartiga asosan bu sirtlarga tegishli yana bitta tekis egri chiziq bo’lishi lozim. Izlanayotgan ikkinchi tekis egri chiziq ellips bo’ladi. Shunday qilib, konus va silindr sirtlari bir aylana va bir ellips bo’yicha kesishadi.
Teoremaning natijasi sifatida quyidagilarni keltirish mumkin.

Ta’rif. Agar sfera biror sirt bilan aylana bo’yicha kesishsa, u holda bu sfera shu sirt bilan yana bir aylana bo’yicha kesishadi.

12.32,a,b-rasmda sfera bilan konusning kesishishi V tekislikka tasvirlangan. Bunda sfera va konus uchun umumiy bo’lgan tekis egri chiziqlardan biri sferaning katta ℓ₁″ gorizontal kesimidir. Teorema shartiga ko’ra, yana bir tekis kesim mavjud. Izlangan tekis keim ℓ₂˝ aylana bo’ladi.

a) b)
12.32-rasm

12.33-rasm 12.34-rasm

Ikkinchi tartibli sirtlarning kesishuvidagi to’rtinchi tartibli egri chiziq ikkita tekis chiziqqa ajraladigan va ulardan biri mavhum bo’lgan hollar ham uchraydi. 12.33–rasmda har xil diametrli sferalarning kesishishi tasvirlangan. Ular bitta tekis egri chiziq – A˝B˝ aylana bo’yicha kesishgan. Bunda ikkinchi tekis egri chiziq mavhum deb qaraladi.

O’qlari parallel bo’lgan ikkinchi tartibli ikki silindr ikkita parallel yasovchi (yoki bitta tekis egri chiziq) bo’yicha kesishadi. Ikkinchi tekis egri chiziq (ikkita yasovchi) mavhumdir (12.34-rasm).

2-teorema. Agar ikkinchi tartibli ikki sirt ikkita nuqtada urinsa, u holda ularning kesishish chiziqlari ham ikkinchi tartibli ikki tekis egri chiziqqa ajraladi.

Bu tekis egri chiziqlarning tekisliklari urinish nuqtalarini tutashtiruvchi to’g’ri chiziq orqali o’tadi.

12.35-rasmda ikkita urinish nuqtasiga ega bo’lgan aylanma va elliptik silindrlarning kesishishi tasvirlangan. Bu sirtlar ℓ₁″ va ℓ₂″ellipslar bo’yicha kesishadi. 12.36–rasmda ikkita urinish nuqtasiga ega bo’lgan elliptik konus va sferaning kesishishi tasvirlangan. Teorema shartiga ko’ra,bu sirtlar ℓ₁″ va ℓ₂″ aylanalar bo’yicha kesishadi, chunki sferaning tekis kesimlari faqat aylanalardir.
2-teorema shartidan foydalanib, umumiy ko’rinishdagi ikkinchi tartibli sirtlarning doiraviy kesimlari yo’nalishlarini aniqlash mumkin. Rasmda G_1W va G_2W profil proeksiyalovchi tekisliklarning yo’nalishi elliptik konus doiraviy kesimlarining yo’nalishini aniqlaydi.

12.35-rasm 12.36-rasm

12.37-rasmda uch o’qli ellipsoid doiraviy kesimlarining yo’nalishi aniqlangan. Bunda berilgan ellipsoidning ichida ikki A″ va B″ nuqtalarga urinuvchi ixtiyoriy R radiusli sfera chiziladi. 2-teorema shartiga asosan sfera va ellipsoid sirtlari ℓ₁″ va ℓ₂″aylanalar bo’yicha kesishadi. G_1W va G_2W aylanalar tekisliklarining yo’nalishi uch o’qli ellipsoid doiraviy kesimlarining yo’nalishi bo’ladi.

12.37-расм
12.38,a,b-rasmlarda shar atrofida chizilgan ikki aylanma silindrning kesishishi V tekislikka tasvirlangan. Silindrik sirtlar ikki tekis egri chiziqlari ellipslar bo’yicha kesishadi. Qurilish amaliyotida silindrlarning shunday vaziyatda kesishishi novali gumbaz deb yuritiladi. 12.39 a,b,v,g–rasmlarda o’qlari o’zaro kesishgan o’tish trubalarini yasash misollari ko’rsatilgan.

a) b)
12.38-rasm
Bu teorema ikkinchi tartibli sirtlarni tasvirlashda alohida ahamiyatga ega, chunki ikkinchi tartibli sirtlar ko’pincha, chizmada o’zlarining ocherklari bilan beriladi.
Isboti. 1. Parallel proeksiyalashda ikkinchi tartibli sirtlarning xossasiga asosan uni har qanday tekislik bilan kesganda ikkinchi tartibli tekis egri chiziq hosil bo’ladi. Bu egri chiziqning ixtiyoriy vaziyatdagi tekislikdagi parallel proeksiyasi umumiy holda ikkinchi tartibli egri chiziq bo’ladi.
Kesuvchi tekislik ikkinchi tartibli sirtning simmetriya tekisligi bo’lib, asosiy proeksiyalar tekisliklarining biriga parallel bo’lsa, kesimning shu proeksiyasi tekisliklaridagi parallel proeksiyalari o’ziga kongruent bo’ladi.



a) b) v) g)
12.39-rasm

3-teorema. Ikkinchi tartibli sirtlarning ocherki (konturi) ikkinchi tartibli egri chiziqdan iboratdir.

2. Markaziy proeksiyalashda S markaz bo’yicha biror ikkinchi tartibli Φ sirtni proeksiyalar tekisligi P ga proeksiyalaymiz. Bunda proeksiyalovchi nurlar to’plami o’rovchi konus sirtini hosil qiladi. O’rovchi konus sirti berilgan Φ sirt bilan bitta tekis egri chiziq bo’yicha urinadi. Bu egri chiziq berilgan sirtning S markaz bo’yicha ocherki hisoblanadi.

Hosil bo’lgan proeksiyalovchi konus sirtini ixtiyoriy P tekislik bilan kesganda kesimda ikkinchi tartibli egri chiziq hosil bo’ladi.

Hazorat savollari

1. 
   Ikki sirtning o’zaro kesishish chizig’ini yasashning umumiy algoritmi nimadan iborat?
   
2. 
   Ikki sirtning kesishish chizig’ini yasashda qanday yordamchi sirtlardan foydalaniladi?
   
3. 
   Sirtlarning o’zaro kesishish chizig’ida qanday nuqtalari xarakterli deyiladi?
   
4. 
   Umumiy o’qqa ega bo’lgan aylanish sirtlarining o’zaro kesishish chizig’ini qanday egri chiziqlar bo’ladi?
   
5. 
   Kontsentrik va ekstsentrik sferalardan qanday hollarda foydalaniladi?
   
6. 
   Sferaning har qanday aylanma sirt bilan kesishuvidan nima hosil bo’ladi va u qanday aniqlanadi?
   
7. 
   Monj teoremasi va undan kelib chiqadigan xususiy hollarni aytib bering.
   
8. 
   Bitta sferaga tashqi chizilgan silindr va konusning o’zaro kesishishidan qanday chiziqlar hosil bo’ladi?
   
9. 
   Yordamchi kesuvchi tekisliklar dastasi usulining mohiyati nimadan iborat?
   
10. 
    Silindr bilan prizmaning o’zaro kesishish chizig’ini yasashda yordamchi tekislik qanday vaziyatda o’tkaziladi?
    
11. 
    O’qlari kesishmaydigan og’ma silindr va konuslarni kesish chizig’ini yasashda kesuvchi tekislik qanday o’tkaziladi?