D. Djanabayev, Sh. Murodov, A. Xolmurzayev chizma geometriya

VII-bob. EGRI CHIZIQLAR

7.1-§. Umumiy ma’lumotlar

Chizma geometriyada egri chiziqlarning geometrik va mexanik xususiyatlaridan grafik ravishda amaliy foydalanish e’tiborga olinib, ularga oddiy kinematik ta’rif beriladi. Shuning uchun egri chiziqni fazoda yoki tekislikda ma’lum yo’nalishda uzluksiz harakatlanuvchi biror nuqtaning izi sifatida qabul qilinadi.
Egri chiziqlar tekis (7.1,a-rasm) va fazoviy (7.1,b-rasm) egri chiziqlarga bo’linadi.



a) b)
7.1-rasm

Egri chiziqlar qonuniy va qonunsiz egri chiziqlarga bo’linadilar. Egri chiziqni tashkil kiluvchi nuqtalar to’plami ma’lum biror qonunga bo’ysinsa u qonuniy, aksincha nuqtalar to’plami xech qanday qonunga asoslanmagan bo’lsa,bunday egri chiziq qonunsiz egri chiziq deyiladi. Qonuniy egri chiziqlarning dekart koordinatalar sistemasidagi tenglamalariga qarab algebraik va transsendent egri chiziqlarga bo’linadilar. Tenglamasi algebraik funksiya orqali ifodalangan egri chiziq algebraik, transsendent funksiya bilan ifodalangan egri chiziq esa transsendent egri chiziq deyiladi.

Algebrik egri chiziqlar tartib va klass tushunchalari bilan xarakterlanadi. Egri chiziqlarning tartibi uni ifodalovchi tenglamaning darajasiga teng bo’ladi.
Grafik jihatdan tekis egri chiziqlarning tartibi uning to’g’ri chiziq bilan, fazoviy egri chiziqning tartibi esa uning biror tekislik bilan maksimum kesishish nuqtalar soni orqali aniqlanadi.
Tekis egri chiziqning klassi unga shu tekislikning ixtiyoriy nuqtasidan o’tkazilgan urinmalar soni bilan, fazoviy egri chiziqning klassi unga biror to’g’ri chiziq orqali o’tkazilgan urinma tekisliklar soni bilan aniqlanadi.
Egri chiziqning tartibi va klassi har xil bo’ladi. Faqat ikkinchi tartibli egriliklarning tartibi va klassi bir xil bo’lib, u 2 ga teng bo’ladi.

7.2-§. Tekis egri chiziqlar. Ularga urinma va normal o’tkazish

Ta’rif. Hamma nuqtalari bitta tekislikda yotgan egri chiziq tekis egri chiziq deyiladi.

Tekis egri chiziqlar analitik va grafik ko’rinishlarda berilishi mumkin. Analitik ko’rinishda quyidagi xollar bilan beriladi:

• 
  dekart koordinatalar sistemasida f(x,y)=0 ko’phad bilan;
  
• 
  qutb koordinatalar sistemasida r=f(Φ) bilan;
  
• 
  parametrik ko’rinishda x=x(t) va y=y(t) bilan.
  

Egri chiziqlarning grafik ko’rinishda berilishining turli xil usullari mavjud.
Tekislikka tegishli biror nuqtaning uzluksiz harakati natijasida tekis egri chiziq hosil bo’ladi. Tekis egri chiziqning har bir nuqtasidan unga bitta urinma va bitta normal o’tkazish mumkin.
7.2-rasmda berilgan ℓ tekis egri chizig’iga uning biror A nuqtasida urinma va normal o’tkazish ko’rsatilgan. Buning uchun A nuqta orqali egri chiziqni kesuvchi AE va AF to’g’ri chiziqlarni o’tkazamiz. E nuqtani A nuqtaga egri chiziq buylab yaqinlashtira boshlaymiz. Natijada, AE kesuvchi A nuqta atrofida burila boshlaydi. ye nuqta A nuqta bilan ustma-ust tushganda AE kesuvchi t₁ urinmani xosil qiladi. Uni ℓ egri chiziqning berilgan nuqtasida o’tkazilgan yarim urinma deyiladi. F nuqtani ham egri chiziq ustida harakatlantirib A nuqta bilan ustma-ust tushiramiz. AF kesuvchi t₂ yarim urinmani xosil qiladi. Qarama-qarshi yo’nalgan t₁ va t₂ yarim urinmalar xosil qilgan to’g’ri chiziq egri chiziqqa berilgan nuqtada o’tkazilgan urinma deyiladi. Shunday nuqtalardan tashkil topgan egri chiziq ravon egri chiziq deyiladi.
Egri chiziqning A nuqtadagi t urinmaga o’tkazilgan perpendikulyar n to’g’ri chiziq uning normali deb ataladi. Ba’zan yarim urinmalar o’zaro ustma-ust tushmasdan o’zaro kesishishi mumkin. Bunday nuqtalar sinish nuqtasi deyiladi (7.3-rasm). Amaliyotda egri chiziqlarga urinma va normal o’tkazish masalalari ko’p uchraydi, shuning uchun urinma va normal o’tkazishning ba’zi bir grafik usullarini kurib chikamiz.



7.2-rasm 7.3-rasm

7.4-расм
7.2.1. Egri chiziqqa undan tashqari olingan nuqta orqali urinma o’tkazish. iror ℓ egri chiziq va undan tashqarida olingan A nuqta berilgan (7.4-rasm) A nuqtadan ℓ egri chiziqqa urinma o’tkazish talab qilinsin. Buning uchun A nuqta orqali ℓ egri chiziqni kesuvchi to’g’ri chiziqlar o’tkaziladi. Xosil bo’lgan vatarlarning uchlarini 11₁, 22₁, 33₁,… nuqtalar bilan belgilab, har bir vatarning o’rta nuqtalari topiladi. Vatarlarning o’rta nuqtalarini birlashtirib q egri chiziqni xosil qilinadi. Bu egri chiziq xatoliklar egri chizig’i deyiladi va uning ℓ egri chiziq bilan kesishish B nuqtasi A nuqtadan o’tuvchi urinmaning egri chiziqqa urinish nuqtasi bo’ladi. A va B nuqtalarni to’g’ri chiziq bilan birlashtirilsa, t urinma xosil bo’ladi.
7.2.2. Berilgan yo’nalishga parellel urinma o’tkazish. Biror ℓ egri chiziqqa berilgan s yo’nalishga parallel urinma o’tkazish uchun ℓ egri chiziqni s yo’nalishga parallel chiziqlar bilan kesiladi va xosil bo’lgan 11₁, 22₁, 33₁,… vatarlarni teng ikkiga buluvchi nuqtalar orqali q xatoliklar egri chizig’ini o’tkaziladi (7.5-rasm). q egri chiziqning ℓ bilan kesishish nuqtasi B ni topiladi. B nuqta orqali berilgan s yo’nalishga parallel qilib t urinmani o’tkaziladi.



7.5-rasm 7.6-rasm
7.2.3. Egri chiziq ustida yotgan nuqta orqali unga urinma o’tkazish. Berilgan ℓ egri chiziqni uning ustida yotgan A nuqtadan chikuvchi to’g’ri chiziqlar bilan kesiladi (7.6-rasm). A nuqtadan o’tuvchi urinmaning taxminiy yo’nalishiga perpendikulyar qilib b to’g’ri chiziqni o’tkaziladi. kesuvchi nurlarga b to’g’ri chiziqni kesib o’tgan nuqtalardan boshlab usha chiziqning ℓ dagi vatar uzunligi o’lchab quyiladi. Nuqtalar to’plami q egri chiziqni xosil qiladi. q egri chiziqning b bilan kesishish nuqtasi V ni A nuqta bilan birlashtirganda t urinmaga xosil bo’ladi.


7.7-rasm


7.2.4. Egri chiziqdan tashqarida olingan nuqtadan unga normal o’tkazish. ℓ egri chiziqdan tashqaridagi A nuqtani konsentrik aylanalarning markazi sifatida qabul qilib (7.7-rasm), undan berilgan egri chiziqni kesuvchi bir necha aylanalar chiziladi. Bu aylanalar ℓ egri chiziqni 11₁, 22₁, 33₁, …nuqtalarda kesadi. Mos nuqtalarni o’zaro birlashtirib, egri chiziqning 11₁, 22₁, 33₁,… vatarlarini xosil qilinadi. Vatarlar uchlaridan qarama-qarshi yo’nalishda unga perpendikulyar chiziqlar chiqariladi va ularga vatarlar uzunliglarini o’lchab quyiladi. Bu kesmalarning uchlarini tartib bilan birlashtirib q chiziq xosil qiladi. q va ℓ egri chiziqlar o’zaro V nuqtada kesishadilar. A va V nuqtalarni birlashtiruvchi n to’g’ri chiziq ℓ egri chiziqning normali bo’ladi.