D. Djanabayev, Sh. Murodov, A. Xolmurzayev chizma geometriya

Parallel proyeksiyalashning usuli va uning xossalari

Geometrik shakllarni parallel proyeksiyalashning quyidagi xossalari mavjud:
1-xossa. Nuqtaning parallel proyeksiyasi nuqta bo’ladi.
2-xossa. Proyeksiyalovchi nurda yotuvchi barcha nuqtalarning proyeksiyalari bitta nuqtada bo’ladi.
3-xossa. Proyeksiyalash yo’nalishiga parallel bo’lmagan to’g’ri chiziqning proyeksiyasi to’g’ri chiziq bo’ladi. Masalan,1.8-rasmda s proyeksiya yo’nalishiga parallel bo’lmagan AB to’g’ri chiziq kesmasi proyeksiyalar tekisligi P ga parallel proyeksiyalangan. Bunda AB kesma nuqtalaridan o’tuvchi nurlar proyeksiyalovchi Q tekislikni hosil qiladi. Bu proyeksiyalovchi tekislik bilan P proyeksiyalar tekisligi A_PB_P kesma bo’yicha kesishadi.
Proyeksiyalash yo’nalishiga parallel bo’lgan to’g’ri chiziqning parallel proyeksiyasi nuqta bo’ladi. 1.8-rasmda CD to’g’ri chiziq kesmasi proyeksiya yo’nalishi s ga parallel. Uning P dagi proyeksiyasi C_P≡D_P nuqta bo’ladi.
4-xossa. AB to’g’ri chiziq kesmasiga tegishli E nuqtaning parallel proyeksiyasi E_P shu to’g’ri chiziq proyeksiyasi A_PB_P kesmaning ustida bo’ladi (1.8-rasm).
5-xossa. Agar nuqta to’g’ri chiziq kesmasini biror nisbatda bo’lsa,bu nuqtaning proyeksiyasi ham kesma proyeksiyasini shunday nisbatda bo’ladi.
Biror C nuqta AB kesmani AC:CB=p:q nisbatda bo’lsa, unda C_P nuqta A_PB_P kesmani ham A_PC_P:C_PB_P=p:q nisbatda bo’ladi (1.9-rasm).
AB to’g’ri chiziq kesmasini s yo’nalish bo’yicha proyeksiyalar tekisligi P ga proyeksiyalaymiz. Bunda proyeksiyalovchi tekislik bilan proyeksiyalar tekisligi P kesishib, A_PB_P kesmani hosil qiladi. Unda 4-xossaga asosan C∈AB bo’lgani uchun C_P∈A_PB_P bo’ladi.

1.8-rasm. 1.9-rasm


AB kesmaning proyeksiyalovchi tekislikdagi A va S nuqtalaridan AC₁∥A_PB_P va CB₁∥A_PB_P kesmalarni o’tkazamiz. Unda hosil bo’lgan ACC₁ va CBB₁ uchburchaklar o’zaro o’xshash bo’ladilar. Bu uchburchaklarning o’xshashligidan AC:AC₁=CB:CB₁ yoki AC:CB=AC₁:CB₁ bo’ladi. AS₁=A_PC_P va CB₁=C_PB_P bo’lgani uchun AC:CB=A_PC_P:C_PB_P=p:q bo’ladi.
6-xossa. To’g’ri chiziqlarning kesishuv nuqtasining proyeksiyasi ularning proyeksiyalarining kesishish nuqtasida bo’ladi, ya’ni AB∩CD=E bo’lsa, A_PB_P∩S_PD_P=E_P bo’ladi (1.10-rasm).
Proyeksiyalash yo’nalishi bo’yicha AB va CD kesmalarining A_PB_P va C_PD_P proyeksiyalarini proyeksiyalar tekisligi P dagi proyeksiyalarni yasaymiz. Kesmalarni proyeksiyalovchi tekisliklar o’zaro EE_P to’g’ri chiziq bo’yicha kesadi, bunda EE_P∥C bo’lib, u E nuqtani proyeksiyalovchi nuri bo’ladi. AB va CD kesmalarining kesishuvidan hosil bo’lgan E nuqtaning proyeksiyalar tekisligi P dagi proyeksiyasi E_P bo’ladi. 3-xossaga asosan E∈AB va E∈CD bo’lgani uchun E_P∈A_PB_P va E_P∈C_PD_P bo’lishi shart. Demak, E_P nuqta A_PB_P va C_PD_P kesmalar uchun umumiy nuqtadir.
7-xossa. Parallel to’g’ri chiziqlarning tekislikdagi proyeksiyalari ham parallel bo’ladi. Agar AB∥CD bo’lsa, A_PB_P∥C_PD_P bo’ladi. 1.11-rasmda s yo’nalish bo’yicha AB va CD to’g’ri chiziq kesmalarining proyeksiyalar tekisligidagi A_PB_P va C_PD_P proyeksiyalari yasalgan. Hosil bo’lgan AB va CD to’g’ri chiziq kesmalarining proyeksiyalovchi tekisliklari proyeksiyalar tekisligi P bilan kesishganda A_PB_P∥C_PD_P kesmalar hosil bo’ladi.
8-xossa. Parallel to’g’ri chiziq kesmalarining nisbati bu kesmalar proyeksiyalarining nisbatiga teng bo’ladi, ya’ni AB∥CD bo’lib, AB:CD=q bo’lsa, A_PB_P:C_PD_P=q bo’ladi (1.11-rasm). Bunda 3-xossaga asosan A_PB_P∥S_PD_P xosil bo’ladi. AB va CD to’g’ri chiziq kesmalarining proyeksiyalovchi tekisliklarida AE (AE∥A_PB_P) va CF(CF∥C_PD_P) kesmalarni o’tkazamiz. U holda ABE va CDF uchburchaklarning parallelligi va o’xshashligidan AB:AE=SD:SF yoki AB:CD=AE:CF=q kelib chiqadi. Demak, AB:CD=A_PB_P:C_PD_P=q bo’ladi.

1.10-rasm 1.11-rasm

Parallel proyeksiyalashning yuqorida keltirilgan xossalaridan darslikning keyingi boblarida keng foydalaniladi.