Differensial tenglamalar va matematik fizika

2.4. Statsionar tenglamalar.
Statsionar, ya’ni vaqtga bog’liq bo’lmagan jarayonlar uchun
(2.2.1) tebraninilar hamda (2.3.1) diffuziya tenglamalari ushbu
(2.4.1)
ko’rinishga ega bo’ladi. bo’lganda (2.4.1) tenglamadan
(2.4.2)
tenglama hosil bo’ladi. Agar bo’lsa,
(2.4.3)
Tenglamaga ega bo’lamiz. (2.4.2) tenglama Puasson, (2.4.3) tenglama esa Laplas tenglamasi deb ataladi.
Statsionar jarayonlarni to’la ifodalash uchun chegaradagi holatni, ya’ni (2.3.10), (2.3.11) va (2.3.12) chegaraviy shartlardan birini berish zarurdir.
Faraz qilaylik, (2.3.1) to’lqin tenglamasida tashqi ta’sir davriy bo’lib, uning chastotasi , amplitudasi bo’lsin:

Agar ni ham chastotali va noma’lum amplitudali davriy funksiya deb izlasak, ya’ni

u holda funksiya uchun ushbu
(2.4.4)
Statsionar tenglama hosil bo’ladi.
(2.4.4) tenglama Gelmgolts tenglamasi deyiladi. Yuqorida keltirilgan statsionar tenglamalar elliptik tipga tegishli bo’lgan tenglamalarning vakilidir.
2.5. Gidrodinamikaning tenglamalari.
Bu tenglamalarni keltirib chiqarishdan oldin matematik analizning bir muxim formulasini chiqaramiz. Bo’laklari silliq, parametrga bog’liq bo’lgan yopiq sirtni, hamda bu sirt bilan chegaralangan o’zgaruvchi hajmni tekshiramiz. koordinatlar va vaqtning biror funksiyasi bo’lsin. Ushbu

integralning bo’yicha olingan hosilasini hisoblashni o’z oldimizga maqsad qilib qo’yamiz. Avval xususiy holni tekshiramiz. hajm yasovchilari o’qiga parallel bo’lgan silindrik sirt, hamda sirtlar bilan chegaralangan bo’lsin, shu bilan birga bo’laklari silliq sirtning tenglamasidir. hosila chegaralangan, ya’ni Bu holda

bu yerda tekis soha bo’lib, hajm chegarasining tekislikda yotgan qismidir. ni hisoblash uchun quyidagi ayirma nisbatni tuzamiz:

bo’lgani uchun, avvalgi tenglikni bunday ko’rinishda yozib olamiz:

Matematik analizdan ma’lum bo’lgan o`rta qiymat haqidagi teoremaga asosan

shu tufayli

Bu tenglikdagi birinchi integral ostidagi ifoda asosan bog’liq bo’lgani uchun ni bilan almashtirishimiz mumkin. Demak,

sirtga o’tkazilgan ichki normalning yo’nalishini orqali belgilab, tenglikni e’tiborga olsak, avvalgi formula

ko’rinishda yoziladi. miqdor sirtning o’q yo’nalishi bo’yicha harakatining go’yo tezligi deyiladi. Go’yo tezlik ifodasini boshqacha ko’rinishda ham yozish mumkin. sirtlar oilasini ga nisbatan yechilgan ko’rinishda olamiz:

u holda

Lekin sirtga o`tkazilgan normal bo’yicha yo’naltirilgan vektorning o’qi bo’yicha yasovchisi bo’lib va bu vektorning komponentlari

lardan iborat. Bundan

ifoda sirtning normal bo’yicha harakatining go’yo tezligi deyiladi. Buni orqali belgilab,

tenglikka ega bo’lamiz. Agar sirt tezlik bilan harakat qilayotgan moddiy zarrachalardan tashkil topgan bo’lsa, normal yo’nalishidagi tezlik quyidagicha bo’ladi:

Demak, biz avvalgi formulani bunday yozishimiz mumkin:
(2.5.1)
ixtiyoriy shakldagi sirt bo’lgan holda ham oldingi formula o’z kuchini saqlab qoladi, chunki ni har doim chekli sondagi bo’laklarga ajratish mumkin bo’lib, bu bo’lakchalar har birining nuqtalari uchun fazoviy koordinatalarning bittasi qolgan ikkitasining bir qiymatli funksiyasi bo’ladi.
(2.5.1) formula gidrodinamikaning asosiy tenglamalaridan bittasini darxol keltirib chiqarish imkonini beradi.
Biz suyuqlik yoki gazning harakatini tekshiramiz. Suyuqlik harakat tezligining vektori suyuqlikning zichligi bo’lsin. sirt bilan chegaralangan o’zgaruvchi hajm suyuqlik bilan to’ldirilgan bo’lsin. Bu hajmdagi suyuqlikning miqdori

ga teng. Suyuqlik tashqaridan kirmayotganligi va yo’qolmayotganligi tufayli bunday hajmdagi suyuqlik miqdori o’zgarmas bo’lib qoladi. Shuning uchun

Gauss - Ostrogradskiy formulasiga asosan

Bunga asosan, avvalgi tenglik bunday yoziladi:

Bu tenglik ixtiyoriy sirt hamda ixtiyoriy vaqtda o’rinli bo’lgani uchun
(2.5.2)
tenglamaga ega bo’lamiz, yoki ochib yozsak:

(2.5.2) tenglama uzluksizlik yoki ajralmaslik tenglamasi deyiladi.

formulaga asosan, (2.5.2) tenglama
(2.5.3)
Ko’rinishda ham yoziladi. Agarda suyuqlik bir jinsli siqilmaydigan bo’lsa, ya’ni

Bu holda (2.5.3) tenglamadan tenglikka ega bo’lamiz.

Demak, bir jinsli siqilmaydigan suyuqlik harakat tezligining vektori solenoidal vektor bular ekan. Endi faraz qilaylik, suyuqlik potentsial harakatda bo’lsin, ya’ni:

Bu holda

yoki

Shunday qilib, siqilmaydigan bir jinsli suyuqlik harakatining potentsiali Laplas tenglamasini qanoatlantirar ekan.

Endi ideal suyuqlik harakatining tenglamasini keltirib chiqaramiz.
Ideal suyuqlik deganda shunday suyuqlik tushuniladiki, bunda uning zarrachalari orasidagi ishqalanish kuchi, yoki baribir yopishqoqlik kuchi bo’lmaydi.
Shuning uchun ham, agar suyuqlikdan sirt bilan chegaralangan biror hajmni ajratib olsak, suyuqlik qolgan qismining ajratilgan qismiga ta’siri sirtning har bir nuqtasida ichki normal bo’yicha yo’nalgan kuchga to’g’ri keladi. Birlik yuzaga qo’yilgan bu kuch (bosim) ning miqdorini orqali belgilasak, bosimning sirtga teng ta’sir kuchi ga teng bo’ladi, bunda sirtga o’tkazilgan tashqi normalning birlik vektori.
Gauss – Ostrogradskiy formulasiga asosan

Agar birlik massaga qo’yilgan tashqi kuchni (masalan, og’irlik kuchini) orqali belgilasak, hajmga qo’yilgan teng ta’sir qiluvchi kuch

ga teng bo’ladi. Nihoyat, hajmga teng ta’sir qiluvchi inersiya kuchi

ga teng bo’ladi. Dalamber prinspiga asosan

Bundan, hajm ixtiyoriy bo’lgani uchun, ideal suyuqlik harakatining Eyler tenglamasi hosil bo’ladi:
(2.5.4)
Tekshirilayotgan suyuqlik har bir moddiy nuqtasi (ayrim zarrachalari) ning trayektoriyasi ushbu

tenglamalar bilan aniqlanadi. Bularni e’tiborga olib, (2.5.4) tenglamani skalyar ko’rinishda yozishimiz mumkin:

Bundan darxol quyidagi tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi:

(2.5.5)
(2.5.5) tenglamalarda beshta noma’lum funksiyalar va ishtirok etyapti. Bu sistema aniq bo’lishi uchun yana ikkita tenglama zarur. Bu noma’lum miqdorlarni bog’lovchi yana bitta tenglama, ya’ni ajralmaslik tenglamasi (2.5.2) bor. Yana bitta tenglamani izlab topishimiz kerak.
Agar suyuqlikni siqilmaydigan va bir jinsli deb faraz qilsak const
bo’ladi va biz darxol yetarli tenglamalarga ega bo’lamiz. Siqilmaydigan suyuqliklarda umumiy holda mexanikadan ma’lumki, har bir suyuqlik yoki gazning bosimi va zichligi o’zaro holat tenglamasi bilan bog’langan bo’lib, unda yana absolyut harorat qatnashadi. Ideal gazlar uchun bu tenglama

ko’rinishga ega bo’ladi, bunda gaz doimiysi. Bu tenglama Klayperon tenglamasi deyiladi. Lekin bunda ham noma’lumdir. Ko’p hollarda bosim va zichlik o’zaro bog’langan deb faraz qilinadi, ya’ni

(2.5.6)
bu yerda berilgan funksiya. Bunday sharoitlar, masalan jarayon juda tez sodir bo’lib, bir zarrachadan ikkinchi zarrachaga Issiqlik o’tib ulgurmaydigan hollardagina o`rinli bo’ladi. Bunday jarayonlar adiabatik jarayonlar deyiladi. Shunday qilib (2.5.2),(2.5.4),(2.5.6) tenglamalar gidrodinamika tenglamalarining to’lasistemasidir.