Differentsial tenglamalarning normal sistemasi. No’malumlarni ketma-ket yo’qatish usuli. Xarakteristik tenglamalar (Eyler) usuli

Misol 4. x(0)=1, y(0)=0
Koshi masalasi uchun integral egri chiziq va fazali trayektoriyani toping, muvozanat (sukut) nuqtasining turini aniqlang.

Buning uchun oʻzgarmaslarni yoʻqotish usulidan foydalanamiz:

1. 
   Birinchi tenglamadan t boʻyicha hosila olamiz va hosil boʻlgan va larning orniga misolning berilishidagi ifodalarini qoʻyamiz:
   

2. 
   
   
3. 
   
   

4. 
   Umumiy yechim:
   

5. 
   Boshlangʻich shartlarga koʻra –larning qiymatlarini topamiz:
   

6. 
   Shunday qilib, nuqtadan oʻtuvchi trayektoriyaning tenglamasi quyidagicha boʻladi:
   

Mos integral egri chiziq fazoda quyidagicha tenglamalar bilan aniqlanadi:

Integral egri chiziqni fazodagi proyeksiyasi boʻlgan fazali egri chiziq esa quyidagicha tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadi:
(*)
Fazali egri chiziqni yasash uchun (*) sistemadan t ni yoʻqotish lozim.

Tenglamalarning ikkala tomonni ham kvadratga oshirib qoʻshamiz va
ekanligini eʼtiborga olsak, u holda t ni yoʻqotishga erishamiz. Natijada egri chiziq trayektoriyasi tenglamasini olamiz:

Bu esa, egri chiziq trayektoriyasi ellips korinishda ekanligini koʻrsatadi.
, boʻlgani uchun O(0,0) maxsus nuqta turg’un boʻlmagan markaz nuqtadir.
Quyidagi rasmlarda integral egri chiziq (chapda) va mos fazali egri chiziq (oʻngda) keltirilgan.



Misol 2.
x(0)=1, y(0)=5 (7)
Oldingi mavzularda keltirilgan usullarning ixtiyoriy biri bilan yechimni topamiz;

1. 
   Birinchi tenglamadan t boʻyicha hosila olamiz va hosil boʻlgan va larning orniga misolning berilishidagi ifodalarini qoʻyamiz:
   

2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   

5. 
   
   

6. 
   Umumiy yechim:
   

(8)

7. 
   Boshlangʻich shartlarga koʻra –larning qiymatlarini topamiz:
   

8. 
   Shunday qilib, nuqtadan oʻtuvchi trayektoriyaning tenglamasi quyidagicha boʻladi:
   

(9)
Mos integral egri chiziq fazoda quyidagicha tenglamalar bilan aniqlanadi:

Integral egri chiziqni fazodagi proyeksiyasi boʻlgan fazali egri chiziq esa quyidagicha tenglamalar sistemasi bilan aniqlanad
(*)
O(0,0) maxsus nuqta turgʻun boʻlmagan tugun nuqtadir.
Fazali egri chiziqni yasash uchun (*) sistemadan t ni yoʻqotamiz, natijada fazali egri chiziq tenglamasi quyidagi koʻrinishni oladi:

Integral egri chiziqni va mos fazali egri chiziqni biror bir dasturda chizishni talabaga taklif qilamiz.

Avtonom sistemalar yechimining asosiy xususiyatini isbotlash uchun, (7) sistemaga qoʻyilgan boshlangʻich shartlarni quyidagicha koʻrinishda keltiramiz:

Ushbu shartlarni (8) formulaga qoʻyib:
.
Ushbu sistemani yechib: ekanligini topamiz. Topilgan larni qiymatlarini (8) ga qoʻyamiz va natijada berilgan boshlangʻich shartlarni bajaruvchi yechimni topamiz:
(10)
Shuni taʼkidlash kerakki, (9) va (10) tenglamalar bilan tasvirlanadigan trayektoriyalar ustma-ust tushadi, faqat (10) qonuniyat bilan harakatlanayotgan nuqta (9) qonuniyat bilan harakatlanayotgan nuqtadan vaqtga kechikib harakatlanadi. Masalan da nuqta (9) qonun boʻyicha nuqtada boʻlsa, (10) qonun boʻyicha esa bu nuqtada boʻlganda yetib keladi.