Differentsial tenglamalarning normal sistemasi. No’malumlarni ketma-ket yo’qatish usuli. Xarakteristik tenglamalar (Eyler) usuli

No’malumlarni ketma-ket yo’qatish usuli.

(1)- ning birinchi tenglamasini bo’yicha differentsiallaylik:

Tenglikning o’ng tarafidagi , , hosilalarni (1) dan lar orqali ifodalari bilan almashtiramiz, natijada quyidagi tenglama hosil bo’ladi:

Bu tenglamani differentsiallab, aynan yuqoridagidek almashtirishlar bajarsak:

tenglama hosil bo’ladi. Bu jarayonni davom ettirib, nihoyat

tenglamaga kelamiz. Endi hosil bo’lgan tenglamalardan quyidagi sistemani tuzib olaylik:
(3)
Bu sistemaning dastlabki ta tenglamasidan larni lar orqali ifodalab:
(4)
sistemaning oxirgi tenglamasiga olib borib qo’yamiz:
(5)
Bu tenglamadan ni topamiz: (6)
Oxirgi tenglikni marotaba differentsiallab, (4) ga qo’ysak, qolgan noma’lumlar ham topiladi:

Agar (2) boshlang’ich shartlar berilgan bo’lsa, mos koef- fitsientlarni topish xuddi bitta tenglama uchun bajarilgandek amalga oshiriladi.
Agar (1) ning o’ng tarafidagi funktsiyalar o’z o’zgaruvchilariga nisbatan chiziqli bo’lsa, u holda sistemani chiziqli normal sistema deb ataymiz. Chiziqli normal sistemaga mos keluvchi (5) tenglama ham chiziqli bo’ladi.

3-misol.
Yechish.

1. 
   birinchi tenglamani t bo’yicha differentsiallaylik, hosij bo’lgan va larni o’rniga qiymatlarini quyamiz:
   

2. 
   
   

3. 
   
   
4. 
   
   

5. 
   umumiy yechimi :
   

6. 
   –larni topamiz:
   

7. 
   Sistemani xususiy yechimi: