6 - m i s o l. sistemaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Sistemaning xarakteristik tenglamasini tuzib olaylik:
yoki .
Uning ildizlari sistemaning matritsasini xos sonlaridir. ga mos keluvchi xos vektorni topish uchun
sistemani tuzib olamiz. Bu bitta tenglamaga ekvivalent. Bundan (1;-2) vektorni aniqlaymiz.
Agar o’rniga ni qo’ysak, quyidagi sistema hosil bo’ladi:
Bundan (1;1) vektor aniqlanadi.
U holda fundamental yechimlar: da ; da , umumiy yechim esa
bo’ladi.
2-hol.Xos sonlar har xil, lekin ularning ayrimlari kompleks.
Umumiylikni buzmagan holda bu kompleks ildizlar bo’lsin, deb faraz qilaylik. Bu ildizlarga
yechimlar mos keladi.
Aynan 10-§ ning 3-holiga o’xshagan mulohazalar bilan kompleks yechimning haqiqiy va mavhum qismlari ham yechim bo’lishini ko’rsatish mumkin. Shu sababli, larga mos keladigan xususiy yechimlar sifatida
funktsiyalarni olish mumkin, bu yerda lar lar orqali aniqlanadigan haqiqiy sonlar. Sistemaning umumiy yechimiga shu funktsiyalarning mos kombinatsiyalari kiradi.
7 - m i s o l. sistemaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Avval xarakteristik tenglamani tuzib olamiz:
yoki .
Uning ildizlari: Birinchi xos songa mos keluvchi xos vektor (1; 1+i), ikkinchi xos songa mos keluvchi xos vektor (1; 1-i). U holda bu xos son va xos vektorlarga mos keluvchi berilgan sistemaning yechimlari quyidagicha:
yoki agar ularning haqiqiy va mavhum qismlarini ajratib yozsak:
funktsiyalarni xususiy yechim sifatida olish mumkin. Demak, umumiy yechim
bo’ladi.
3-hol. Xos sonlarning ayrimlari haqiqiy va karrali.
Umumiylikni buzmagan holda, xos son haqiqiy va m karrali bo’lsin, deb faraz qilamiz. Unga mos keluvchi sistemaning echimi
(9)
ko’rinishda bo’ladi, bu yerda lar darajalari m-1 dan katta bo’lmagan ko’phadlar. Agar (9) ni (7) ga qo’yib, t larning bir xil darajali hadlari oldidagi koeffitsientlarni tenglasak, bu ko’phadlarning noma’lum koeffitsientlarini topish uchun chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Buning bajarilish tartibini quyidagi misolda ko’rib chiqaylik.
