Differentsial tenglamalarning normal sistemasi. No’malumlarni ketma-ket yo’qatish usuli. Xarakteristik tenglamalar (Eyler) usuli

differentsial tenglamaning traektoriyalari, deb ataladi.
O(0,0) koordinatalar boshi (6) tenglamaning maxsus nuqtasi bo’ladi, chunki bu nuqtada tenglama yechimining mavjudlik va yagonalik sharti buziladi.
О(0;0) muvozanat (sukut) nuqtasi bir qancha turlarga boʻlinadi:

1. 
   Turgʻun tugun nuqta.
   
2. 
   Turgʻun boʻlmagan tugun nuqta.
   
3. 
   Turgʻun boʻlmagan egar nuqta.
   
4. 
   Turgʻun fokus nuqta.
   
5. 
   Turgʻun boʻlmagan fokus nuqta.
   
6. 
   Turgʻun boʻlmagan markaz nuqta
   

Ushbu
(7)

sistema berilgan bo’lib, uning barcha koeffitsientlari oʻzgarmas boʻlsin. bu sistemaning sukut nuqtasi boʻladi, buni bevosita oʻrniga qoʻyish usuli bilan tekshirish mumkin. Bu nuqta turgʻun boʻlishi uchun koeffitsientlar qanday shartlarni qanoatlantirishini tekshiraylik.

xarakteristik tenglamasining ildizlarini bilan belgilaylik.
Bu yerda uch hol yuz berishi mumkin.
1-hol. Barcha xos sonlar har xil: , haqiqiy va , bo’lsin. U holda (7) ning umumiy yechimi

(8)


koʻrinishda boʻladi. koeffitsientlarni bu yechim (2) boshlangʻich shartlarni qanoatlantiradigan qilib tanlaymiz. Agar desak:
,
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu yerda chunki , lar chiziqli erkli xos vektorlar edi. U holda
bu yerda - ning  determinantdagi algebraik toʻldiruvchisi. Quyidagi

belgilashlarni kiritaylik.
Agar ixtiyoriy son uchun desak, barcha lar uchun , boʻlgani uchun boʻlganda, boʻladi, ya’ni sukut nuqta Lyapunov ma’nosida turgʻun ekan. Bundan tashqari, va demak, sukut nuqta asimptotik turgʻun ham ekan.
(8) ko’rinishdagi yechim uchun bu maxsus nuqta turgʻun tugun nuqta, deb ataladi. Bunda nuqta da traektoriya boʻylab, maxsus nuqtaga yaqinlashadi deymiz.