Misol 3. sistemaning yechimini turg’unlikka tekshiring.
Yechish. Bu sistema uchun xarakteristik tenglama
ildizlarga ega. Unga mos keluvchi yechimlar: da ya’ni yechim turgʻun emas. Agar t ni yoʻqotsak:
tenglama hosil boʻladi. Bu faza tekisligida giperbolalar oilasini ifodalaydi (3-rasmga qarang).
Maxsus O(0;0) nuqta turgʻun boʻlmagan egar nuqtadir.
4-hol. Xarakteristik tenglamaning ayrim ildizlari kompleks. Umumiylikni buzmagan holda, faraz qilaylik, boʻlib, qolganlari haqiqiy boʻlsin.
a) agar boʻlsa, u holda ularga mos keluvchi umumiy yechim
Koʻrinishda boʻladi. Shu sababli, da boʻladi, ya’ni yechim asimptotik turgʻun. Sukut nuqta bu holda turgʻun fokus, deb ataladi (4-rasmga qarang).
b) agar 0 (i, larning birortasi musbat) boʻlsa, u holda ( musbat i oldidagi ) boʻlsa, da boʻladi, ya’ni yechim turgʻun boʻlmaydi (5-rasmga qarang). Bu nuqtani turgʻun boʻlmagan fokus, deb ataymiz.
c) agar boʻlsa, u holda ularga mos keluvchi umumiy yechim:
Koʻrinishda boʻladi. Bu yechim Lyapunov ma’nosida turgʻun, lekin, da lar nolga intilmagani uchun, yechim asipmtotik turgʻun emas. Sukut nuqta bu holda markaz, deb ataladi (6-rasmga qarang).
XULOSA:
1. , haqiqiy va , O(0,0) maxsus nuqta turgʻun tugun nuqtadir.
2. , haqiqiy va , O(0,0) maxsus nuqta turg’un bo’lmagan tugun nuqtadir.
3. ildizlari haqiqiy, lekin har xil ishorali boʻlsa
O(0,0) maxsus nuqta turgʻun boʻlmagan egar nuqtadir.
4. boʻlib, qolganlari haqiqiy boʻlsin.
a) O(0,0) maxsus nuqta turg’un fokus nuqtadir.
b) 0 ,i, larning birortasi musbat boʻlsa, O(0,0) maxsus nuqta turg’un boʻlmagan fokus nuqtadir.
c) O(0,0) maxsus nuqta turg’un boʻlmagan markaz nuqtadir.
Avtonom sistemalar yechimining asosiy xususiyatini keltiramiz. Agar biror bir xususiy yechim nuqtadan t=0 vaqt momentida oʻtib, boshqa yechim ham ushbu nuqtadan vaqt momentida oʻtsa, u holda bu yechimlar ustma-ust tushadi. Bunday hol xuddiki bir boshqa nuqta kechikib kelgandek qabul qilinadi, lekin xuddi shu trayektoriya boyicha harakatlanadi deb qabul qilinadi.
Dostları ilə paylaş: |
