4.Оʻzgarmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi yechimining lyapunov boʻyicha turgʻunligi. Bu holda ham n=2 boʻlgan holni qarab chiqish bilan chegaralanamiz. Maʼruza davomida n>2 boʻlgan holga umumlashtirish imkoniyatlari koʻrinib qoladi. Aytaylik quyidagicha koʻrinishdagi differensial tenglamalar sistemasi:
(11)
boshlangʻich shartlar: (12)
bilan berilgan boʻlsin.
Bunday masalalarni yechish usullari haqida gaplashdik. Aytaylik ushbu masalaning yechimi topilgan boʻlsin: . Boshlangʻish shartlardagi tebranishlarni Sistema yechimiga taʼsirini oʻrganamiz. Agar boshlangʻich shartlardagi kichik tebranishlarga-oʻzgarishlarga sistema yechimida ham kichik oʻzgarishlar mos kelsa, u holda Sistema LYAPUNOV boʻyicha turgʻun deyiladi. Ushbu xossani matematik tasvirlaymiz.
Aytaylik va funksiyalar (11)-(12) masala yechimi boʻlsin. (11) sistemani , shartlardagi yechimini topamiz. Ushbu masala yechimini kabi belgilaymiz. Bunda boʻlib, va nuqtalar orasidagi masofani ifodalaydi.
Agar shu bilan birgalikda: ,
, shart bajarilsa, u holda yechim LYAPUNOV boʻyicha turgʻun deyiladi.
Yuqorida koʻrib chiqilgan misol uchun turgʻunlikni tekshiramiz:
x(0)=1, y(0)=5 umumiy yechimi quyidagicha koʻrinishda edi:
Trayektoriyasi nuqtadan oʻtuvchi xususiy yechim topilgan edi:
Taqqoslash uchun nuqtadan oʻtuvchi yechimni topamiz. Ushbu shartga mos yechimni quyidagicha sistemadan topamiz:
Berilgan holatda funksiyaning normasi sifatida C norma olinadi, yaʼni . U holda sifatida: ni olib, talab qilinayotgan aniqlikka erishish uchun mos ni esa koʻrinishda olish mumkin boʻladi.
