4-m i s o l. tenglamalar sistemasini yeching. Yechish. Birinchi tenglamani bo’yicha differentsiallaymiz:
va undan , larni yo’qotamiz. Shu bilan tenglama
ko’rinishga keladi. Buning xarakteristik tenglamasi il- dizlarga ega. Shuning uchun uning umumiy yechimi
bo’ladi. z ni topish uchun bu yechimni sistemaning birinchi teng-lamasiga qo’yamiz:
Eslatma. Ayrim hollarda sistemaning tenglamalari ustida bir nechta almashtirishlar bajarib, yechimni topishga olib keladigan osongina integrallanadigan tenglama hosil qilish mumkin. Bu usulni integrallovchi kombinatsiyalar usuli, deb atashadi.
5 -m i s o l. tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish. Avval birinchi integrallovchi kombinatsiyani tuzib olamiz. Buning uchun birinchi tenglamani ikkinchisiga bo’lamiz:
yoki
Ikkinchi integrallovchi kombinatsiyani tuzish uchun birinchi tenglamani 2 ga va ikkinchi tenglamani 3 ga ko’paytirib, o’zaro qo’shamiz:
yoki
Hosil bo’lgan tenglamalardan sistema tuzib olib, umumiy yechimni topamiz:
3.Xarakteristik tenglamalar (Eyler) usuli. O’zgarmas koeffitsientli chiziqli differentsial tenglamalar sistemasi. Faraz qilaylik, bizga quyidagi
(7)
sistema berilgan bo’lsin, bu yerda barcha koeffitsientlar o’zgarmas.
Bu sistemani matritsa ko’rinishida ham yozish mumkin, bu yerda
Berilgan (7) sistemaning yechimini
ko’rinishda izlaymiz. Agar bularni sistemaning tenglamalariga qo’yib, o’xshash hadlarni ixchamlasak, noma’lum koeffitsientlarga nisbatan quyidagi chiziqli bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
(8)
Ma’lumki, bunday sistema hamisha birgalikda, masalan, hech bo’lmaganda nol yechimi mavjud. (8) sistema noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun uning determinanti nolga teng bo’lishi zarur va etarlidir:
Bu ga nisbatan n-darajali algebraik tenglama. Uni A matritsaning va shu vaqtning o’zida (7) sistemaning ham xarakteristik tenglamasi deb ataymiz.
Ma’lumki, bunday tenglama n ta ildizlarga ega. Ular A matritsaning xos sonlari bo’ladi. Har bir xos songa biror xos vektor mos keladi.
Bu yerda uch hol yuz berishi mumkin.
1-hol. Barcha xos sonlar har xil: va haqiqiy. U holda, (7) sistema n ta yechimga ega:
uchun:
uchun:
uchun:
Biz fundamental yechimlar sistemasini topdik. Umumiy yechim
