Ehtimal nəzəriyyəsi bütün təbiət elmlərinin təməl daşı, statistika isə

Təsadüfi hadisələr üzərində əməllər

Tutaq ki, hər hansı S sınağının elementar hadisələr fəzası Ω={ω} ilə işarə edilir. Burada həmin fəzanın altçoxluqları olan A,B,C,...,və s. hadisələrinə baxılır. Bu hadisələr bəzən A_k, B_k, C_k,..., (k=1, 2, ...) və s. kimi işarə olunur. Təsadüfi hadisələr üzərində aşağıdakı əməllər yerinə yetirilir:

1. 
   Hadisələrin bərabərliyi.
   

Baxılan sınaq nəticəsinə A hadisəsi baş verdikdə B hadisəsi də hökmən baş verirsə, onda deyirlər ki, “B hadisəsi A hadisəsinin nəticəsidir” və A B (A daxildir B-yə) kimi işarə olunur. Bu daxilolma münasibətinin aşağıdakı xassələri vardır.

• 
  A^ A
  
• 
  A^ B və B^ C olarsa, onda A^ C olar.
  

Əgər A B və B A münasibətləri eyni zamanda ödənilərsə, A və B hadisələrinə eynigüclü və ya bərabər hadisələr deyilir və A=B kimi işarə edilir.
Hadisələrin eynigüclülük münasibətinin simmetriklik, refleksivlik və tranzitivlik xassələri vardır:

• 
  Simmetriklik: A=A
  
• 
  Refleksivlik: A=B olduqda, B=A olar.
  
• 
  Tranzitivlik: A=B və B=C olduqda A=C olar.
  

2. 
   Hadisələrin cəmi və ya birləşməsi.
   

A və B hadisələrinin heç olmasa birinin baş verməsindən ibarət olan hadisəyə həmin hadisələrin cəmi və ya birləşməsi deyilir və A+B, AUB kimi işarə olunur. Buradan aydın olur ki, A və B hadisələrinin cəmi, həmin hadisələrin heç olmasa birinə daxil olan elementar hadisələrdən ibarətdir:
A+B={ ω Ω│ ω A və ya ω B} (1)
İstənilən A və B hadisələri üçün aşağıdakı xassələr doğrudur.

• 
  A+A=A
  
• 
  A+B=B+A
  
• 
  A+Ω=Ω
  
• 
  A+Ø=A və s.
  

Eyni qayda ilə istənilən sonlu sayda hadisələrin A₁, A₂, ..., A_n hadisələrinin cəmini müəyyən etmək olar:

n

∪
A₁+A₂+…A_n= ^Ak
k 1
(2)

(2) düsturunun cəmi A₁, A₂, ..., A_n hadisələrinin heç olmasa birinin baş verməsindən ibarət olan hadisədir. Hadisələrin cəmi anlayışı hesabi sayda çoxluqlar üçün ümumiləşdirilir.

3. 
   Hadisələrin hasili.
   



∪
A₁+A₂+...+A_n+...= ^A_n
n 1
(3)

A və B hadisələrinin hər ikisinin eyni zamanda hökmən baş verməsindən ibarət olan hadisəyə həmin hadisələrin hasili deyilir və AB və ya
A∩ B kimi işarə olunur. Buradan aydın olur ki, A və B hadisələrinin hasili həmin hadisələrin hər birinə hökmən daxil olan elementar hadisələrdən ibarətdir:
AB={ ω Ω│ ω A və ω B} (1)
Istənilən sonlu sayda və ya hesabi sayda hadisələrin hasilindən də danışmaq olar. Hesabi sayda A₁, A₂, ...,A_n hadisələr üçün aşağıdakı düstur doğrudur:


∩
^{Ak } ={ ω Ω│ ω  A_{k , k=1, 2, ...} } (2)
k 1

İxtiyari A, B, C,... hadisələri üçün aşağıdakı xassələr doğrudur:

• 
  AA=A
  
• 
  AB=BA
  
• 
  A(B+C)=AB+AC
  
• 
  AØ=Ø
  
• 
  A Ω=A
  

Hadisələrin cəmi və hasili üçün qruplaşdırma xassələri də doğrudur.
Yəni A, B, C hadisələri üçün aşağıdakı münasibətlər ödənilir: A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B və

ABC=A(BC)=(AB)C=(AC)B
Ω fəzası yəqin hadisə, boş çoxluq isə mümkün olmayan hadisələrdir. Buna görə də AB= Ø olması A və B hadisələrinin uyuşmayan olması deməkdir. Cüt-cüt uyuşmayan A₁, A₂, ..., A_n hadisələr sistemi üçün
A_k A_m  0 (k, m=1, 2, ...) münasibətləri ödənilir. Belə sistem üçün əlavə
A₁+ A₂+ ...+ A_n = Ω
münasibəti ödənildikdə, ona cüt-cüt uyuşmayan hadisələrin tam qrupu və ya tam sistemi deyilir. Bu anlayışı hesabi sayda A₁, A₂, ..., A_n hadisələr sistemi üçün də ümumiləşdirmək olar. Əgər A₁, A₂, ..., A_n hadisələr sistemi üçün
1. A_k  O (k≥1),


2. A_k A_m  0 (k, m=1, 2, ...),



3. 
   
   ∪
   ^{Ak  }
   

k 1

şərtləri ödənilərsə, onda ona hadisələrin “tam sistemi” deyilir.

Əgər A hadisəsi cüt-cüt uyuşmayan A₁, A₂, ..., A_n hadisələrinin cəmidirsə, yəni
A=A₁+ A₂+ ...+ A_n
münasibəti ödənilərsə, onda deyirlər ki, A hadisəsi A₁, A₂, ..., A_n xüsusi hallarına ayrılır.

3. 
   Hadisələr fərqi.
   

A hadisəsinin baş verməsi, B hadisəsinin isə baş verməməsindən ibarət
olan
hadisəyə A və B hadisələrinin fərqi deyilir və A-B kimi işarə olunur. A-B fərqini aşağıdakı kimi təyin etmək təyin etmək olar:
A-B= { ω Ω│ ω A və ω  B }
Ω-A fərqinə A hadisəsinin qarşılıqlı əksi deyilir və belə işarə olunur:
A =Ω-A
A hadisəsi A-nın baş verməsini göstərir. A və A hadisələri qarşılıqlı əks hadisələr adlanır. Onların biri baş verdikdə, o biri hökmən baş vermir. Deməli, A və A hadisələri uyuşmayandır A A=Ø və onların cəmi yəqin hadisədir: A+ A =Ω