1.1-§. Gruppa tushunchasi1-tarif. a , b,, elementlarning G toplami gruppa deb ataladi, agar G dagi ixtiyoriy tartiblashgan juftlikka qandaydir amal (kopaytirish yoki qoshish, ayirish) yordamida G dagi uchinchi element mos qoyiladi va quyidagi shartlar, yani 1. Bu amal G dan olingan ixtiyoriy a, b, c elementlar uchun bu amal assostiativ, yani 2. Ixtiyoriy a element uchun G da neytral element e mavjudki uning uchun tenglik orinli.3. G dagi ixtiyoriy a element uchun, unga teskari bolgan element mavjud : Agar gruppa uchun qoshimcha ravishda kommutativlik qonuni, yani 4. G dan olingan ixtiyoriy a , belementlar uchun orinli bolsa , u xolda G gruppa kommutativ yoki abel gruppasi deb ataladi.
Yarim gruppa. Monoid, misollar
Aytaylik A to‘plam, * - A to‘plamda aniqlangan binar amal bo‘lsin.
TA’RIF. Agar A to‘plamda aniqlangan * binar amal assotsiativ bo‘lsa,
ya’ni (a,b, sA), (a*b)*s=a*(b*s) bajarilsa,’ u holda A=(A;*) – algebraik
sistemaga yarimgruppa deyiladi. Agar * amal + (qo‘shish) amali bo‘lsa, (A;+) –
additiv yarimgruppa, (ko‘paytirish) bo‘lsa, (A; +) – multiplikativ yarimgruppa
deyiladi.
Agar * amal kommutativ bo‘lsa, ya’ni (a,bA), a*b*=b*a bo‘lsa, A ni
kommutativ, yarimgruppa deyiladi
Ta’rif. X to`plam berilgan bo`lsin. F : Xn X funktsiyaga X dagi algebraik amal deyiladi. O`zgaruvchilar soniga qarab algebraik amal bir o`rinli yoki unar (bitta o`zgaruvchi qatnashsa), ikki o`rinli yoki binar (ikkita o`zgaruvchi qatnashsa), uch
o`rinli yoki ternar (uch o`zgaruvchi qatnashsa), va umumiy holda n – o`rinli yoki n-ar (n-ta o`zgaruvchi qatnashsa) deyiladi.
Nol o`rinli yoki nular algebraik amal sifatida X to`plamning istalgan elementini alohida olish amali tushuniladi.
Binar algebraik amalning turlari . Algebra fanida ko`pincha binar amallar qaraladi, shuning uchun ushbu hol jiddiyroq tahlil qilinishi lozim.
Ushbu holda x = (x , u ) X 2 uchun f(x , u ) belgilash o`rniga x f u
belgilash qabul qilingan (f belgini o`rniga ixtiyoriy maxsus belgi ishlatilishi mumkin, masalan ,, , , ,, ,,,, , , , ).
