I bob. Funksiyalarni tekshirishga oid asosiy tushunchalar

1.4. Funksiya hosilasi va uning ba’zi tatbiqlari

Funksiyaning hosilasi. f (x) funksiya (a,b) intervalda aniqlangan bo’lsin.

Bu intervalda x₀ nuqta olib, unga shunday orttirma beraylikki,

bo’lsin. Natijada f (x) funksiya ham x₀ nuqtada

ortirmaga ega bo’ladi. Ushbu

nisbatni qaraymiz. Bu nisbat ning noldan farqli qiymatlarida, jumladan nol nuqtaning yetarli kichik

( ) atrofida aniqlangan. nuqta to’plamning limit nuqtasi. Endi nisbatning limitini qaraymiz, bu limit funksiyaning hosilasi

tushunchasiga olib keladi.

T a’rif 1.20. Agar

nuqtadagi hosilasi deb ataladi.

Funksiyaning yoki

, yoki belgilar yordamida yoziladi. Demak ,

B unda deb olaylik. Unda va

bo’lib, natijada

nisbatning limiti sifatida ham ta’riflanishi mumkin.

.

Agar f (x) funksiya (a,b) intervalning har bir x nuqtasida hosilaga ega bo’lsa, bu hosila x o’zgaruvchining funksiyasi bo’ladi Endi hosilalar jadvalini keltiramiz.

1. (x^α)'=α⋅ x^α−^1	(x > 0);
2. (a^x)'= a^x⋅lna	(a > 0, a ≠1);

Xususan, (x>0); ;

(x>0, a>0, a

);

5.

6. (tgx)' x k ; k

2

cos x

1

7. (ctgx)'= − 2 sin x

(x ≠ kπ; k ∈Z);

1

1 − x ² 8. (arcsinx)'= (−1< x <1);

1

1 − x ² 9. (arccosx)'=− (−1< x <1);

1

10. 
    (arctgx)'= ; ₂
    

1+ x

1

10. 
    (arcctgx)'=− ; ₂
    

1+ x

10. 
    (shx)'= chx;
    
11. 
    (chx)'= shx;
    

1

10. 
    (thx)'= ;
    

2

ch x

1

10. 
    (cthx)'=− (x ≠ 0);
    

2

sh x

Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilalari: f (x) funksiya (a,b) intervalda aniqlangan bo’lib, uning har bir x nuqtsida f '(x) hosilaga ega bo’lsin. Ravshanki, f '(x) hosilaga x o’zgaruvchining funksiyasi bo’ladi. Bu f '(x) hosila ham o’z navbatida biror x₀∈(a, )b da hosilaga ega bo’lishi mumkin.

Ta’rif 1.21. Agar f(x) funksiya (a,b) intervalning har bir x∈(a,b) nuqtasida f

'(x) hosilaga ega bo’lamiz,bu f '(x) funksiya x₀∈(a,b) nuqtadagi hosilaga ega bo’lamiz, u f (x) funksiyaning nuqtadagi ikkinchi tartibli hosilasi deb ataladi.

Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi belgilarni biri orqali yoziladi.

Funksiyaning ekstremum qiymatlari. f (x) funksiya (a,b) intervalda aniqlangan bo’lsin.

Ta’rif 1.22. x₀∈(a,b) nuqtaning shunday atrofi

U_δ(x₀) ={x: x∈R, x₀ −δ< x < x₀ +δ, δ> 0}⊂ (a,b)

U x

topilib, ∀x∈ _δ( ₀) uchun

f (x) ≤ f (x₀) ( f (x) ≥ f (x₀))

tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda f (x) funksiya x₀ nuqtada maksimumga (minimumga) ega deyiladi, f (x₀) qiymat f (x) funksiyaning U_δ(x₀) dagi maksimumi

(minimumi) deyiladi.

Funksiyaning maksimum va minumumi umumiy nom bilan uning ekstremumi deb ataladi.

Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari. Biz yuqorida

funksiyaning ekstremumi ta’rifini keltirdik va bu ta’rifdan funksiya biror oraliqda bir nechta maksimum va minumumlarga ega bo’lishi mumkinligini eslatib o’tamiz.

Endi fuksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish masalasini qaraymiz.

f (x) funksiya [a,b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. Veyershtrassning ikkinchi teoremasiga ko’ra funksiyaning [a,b] da eng katta va eng kichik qiymatlari mavjud bo’ladi va bu qiymatlarga [a,b] segmentning nuqtalarida erishiladi. Funksiyaning eng katta qiymati quyidagicha topiladi:

1. 
   f (x) funksiyaning (a,b) intervaldagi maksimum qiymatlari topiladi.
   

Funksiyaning hamma maksimum qiymatlaridan iborat tuplam {max f (x)} bo’lsin.

2. 
   Funksiyaning [a,b] segmentning chegaralaridagi, ya’ni x=a, x = b
   

nuqtalarida f (a) va f (b) qiymatlari hisoblanadi. So’ngra {max f (x)}

to’plamning barcha elementlari bilan f (a) va f (b) lar taqqoslanadi. Bu qiymatlar ichida eng kattasi f (x) funksiyaning [a,b] segmentdagi eng katta qiymati bo’ladi.

Shunga o’xshash funksiyaning eng kichik qiymati topiladi.

1') f (x) funksiyaning (a,b) intervaldagi barcha minimum qiymatlari topilib, ulardan {min f (x)} to’plam tuziladi.

2') [a,b] segmentning chegaralari x=a, x = b nuqtalarda f (x) funksiyaning f (a), f (b) qiymatlari hisoblanadi.

{min f (x)} to’lamning barcha elementlari hamda f (a), f (b) qiymatlari ichida eng kichigi f (x) funksiyaning [a,b] segmentdagi eng kichik qiymati

bo’ladi.

Fuksiyaning qavariqligi va botiqligi. f (x) funksiya (a,b) intervalda aniqlangan bo’lib bu intervaldan olingan x₁∈(a, )b , x₂∈(a, )b nuqtalar uchun x₁ < x₂ bo’lsin. Ravshanki, (x₁,x₂) ⊂ (a, )b .

Endi f (x) funksiya grafigida A(x₁, f (x₁)), B(x₂, f (x₂)) nuqtalarni olaylik.

Ma’lumki, bu A(x₁, f (x₁)), B(x₂, f (x₂)) nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi quyidagi

y − f (x₁) = x − x₁

f (x₂) − f (x₁) x₂ − x₁

ko’rinishga ega bo’ladi. Uni

x² − x + x − x¹ f (x₂) y = f

(x₁)

x2 − x1 x2 − x1

kabi yozib olib, qulaylik uchun bu tenglamaning o’ng tomonini l(x) orqali belgilaylik

x² − x + x − x¹ f (x₂).

l(x) = f (x₁) x2 − x1 x2 − x1

Shu belgilashga ko’ra y=l(x) tenglama A(x₁, f (x₁)) va B(x₂, f (x₂)) nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqni ifodalaydi. Bundan l(x₁) = f (x₁), l(x₂)

= f (x₂) tengliklar kelib chiqadi

Ta’rif 1.23. Agar har qanday (x₁,x₂) ⊂ (a,b) olinganda ham ∀x∈(x₁,x₂) uchun

f (x) ≤ l(x) ( f (x) < l(x))

tengsizlik o’rinli bo’lsa, f (x) funksiya (a,b) intervalda botiq (qatiy botiq) funksiya deb ataladi.

Ta’rif 1.24. Agar har qanday (x₁,x₂) ⊂ (a,b) olinganda ham ∀x∈(x₁,x₂) uchun

f (x) ≥ l(x) ( f (x) > l(x))

tengsizlik o’rinli bo’lsa, f (x) funksiya (a,b) intervalda qavariq (qatiy qavariq) funksiya deb ataladi.

Funksiyaning egilish nuqtalari. Funksiya hosilasi yordamida uning egilish nuqtalarini topish mumkin. f (x) funksiya x₀ nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lsin.

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

U R, x₀ −δ< x < x₀} (δ> 0)

U R, x₀ < x < x₀ +δ} (δ> 0).

Ta’rif 1.25. Agar f (x) funksiya U_δ⁻(x₀) oraliqda botiq (qavariq) bo’lib,

U_δ⁺(x0) oraliqda esa qavariq (botiq) bo’lsa, u holda x nuqta funksiyaning 0 (funksiya grafigining) egilish nuqtasi deb ataladi.

f (x) funksiya U_δ(x₀) da ikkinchi tartibli f "(x) hosilaga ega bo’lsin. Agar

uchun f "(x) ≥ 0 (f "(x) ≤ 0),

uchun f "(x) ≤ 0 (f "(x) ≥ 0)

tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda U_δ⁻(x₀) da f '(x) o’suvchi (kamayuvchi), U_δ⁺(x₀) da f '(x) kamayuvchi (o’suvchi) bo’lib, f '(x) funksiya x₀ nuqtada ekstremumga erishadi. U holda x₀ nuqtada f "(x₀) = 0 bo’ladi.

Demak, f (x) funksiyaning egilish nuqtasida ikkinchi tartibli hosila f "(x) nolga teng bo’ladi.

Funksiya grafigining asimptotallari. f (x) funksiya a∈R nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lsin.

Ta’rif 1.26. Agar ushbu lim f (x), lim f (x) x_→a₊0 x_→a₋0

limitlardan biri yoki ikkalasi cheksiz bo’lsa, u holda x=a to’g’ri chiziq f (x) funksiya grafigining vertikal asimptotasi deb ataladi.

Ta’rif 1.27. Agar shunday o’zgarmas k va b sonlar mavjud bo’lsaki, x →+∞ da f (x) funksiya ushbu

f (x) = kx + b +α(x)

ko’rinishda ifodalansa ( lim α(x) = 0), u holda y = kx + b to’g’ri chiziq f (x)

x→+∞

funksiyaning grafigining og’ma asimptotasi deb ataladi.