I bob. Funksiyalarni tekshirishga oid asosiy tushunchalar

Davriy funksiyalar. Aytaylik, f funksiya X ⊂R to’plamda berilgan va

T ⊂R bo’lib, T ≠ 0 bo’lsin. Ta’rif 1.2. Agar

1. 
   ∀ ∈x X da x T X x T X− ∈ , + ∈
   
2. 
   f x T( + =) f x( ) (1.1) bo’lsa, f x( ) davriy funksiya, T soni esa funksiyaning davri deyiladi.
   

Agar f davriy funksiya bo’lib, uning davri T ga (T ≠ 0) teng bo’lsa, kT (k=±1,±2,±3,…) ko’rinishdagi sonlar ham shu funksiyaning davri bo’ladi. f funksiyaning musbat davrlari to’plami M deb belgilaylik. Agar

T=infM

ham f funksiyaning davri, yani T M₀∈ bo’lsa, u eng kichik musat davr (asosiy davr) deyiladi. Eng kichik musat davr mavjud bo’lishi ham mumkin, mavjud bo’lmasligi ham mumkin.

Monoton funksiya. Faraz qilaylik, f funksiya X ⊂R to’plamda berilgan

bo’lsin.

Ta’rif 1.3. Agar ∀ ∈ ∀ ∈x X₁, x₂ X uchun

x x

1 < ₂ ⇒ f x( ₁) ≤ f x( ₂)

bo’lsa, f funksiya X to’plamda o’suvchi,

x x

1 < ₂ ⇒ f x( ₁) < f x( ₂)

bo’lsa, f funksiya X to’plamda qat’iy o’suvchi deyiladi. Ta’rif 1.4. Agar ∀ ∈ ∀ ∈x X₁ , x₂ X uchun

x x

1 < ₂ ⇒ f x( ₁) ≥ f x( ₂)

bo’lsa, f funksiya X to’plamda kamayuvchi, ∀ ∈ ∀ ∈x X₁ , x₂ X uchun

x x

₁ < ₂ ⇒ f x( ₁) > f x( ₂)

bo’lsa, f funksiya X to’plamda qat’iy kamayuvchi deyiladi.

O’suvchi ham kamayuvchi ham funksiyalar monoton funksiyalar deb ataladi.

Teskari funksiya. Bizga X ⊂R to’plamni Y ⊂R to’plamga akslantiruvchi y f x= ( ) funksiya berilgan bo’lsin. Faraz qilaylik, D f( ) =X va E f( ) =Y bo’lsin.

Ta’rif 1.5. Agar har bir y Y∈ uchun

f x( ) =y (1.2)

tenglama yagona x D f∈ ( ) yechimga ega bo’lsa, f funksiya teskarilanuvchan deyiladi. Agar f teskarilanuvchan funksiya bo’lsa, u holda har bir y E f∈ ( ) ga (1.2) tenglamaning yagona yechimi bo’lgan x D f∈ ( ) ni mos qo’yuvchi akslantirish f ga teskari funksiya deyiladi va u f ⁻¹ kabi belgilanadi, ya’ni x f= ⁻¹( )y .

Murakkab funksiya. y f x= ( ) funksiya X to’plamda aniqlangan bo’lib, z=ϕ( )y funksiya o’z navbatida Y ={ ( ):f x x X f X∈ }{ : →Y} to’plamda aniqlangan bo’lsin (ϕ:Y →Z):

X → →^f Y ^ϕ Z

Natijada X to’plamdan olingan har bir x ga yagona z Z∈ son mos qo’yiladi. Bunday holda f va g funksiyalarning murakkab funksiyasi berilgan deyiladi va z=ϕ( ( ))f y kabi belgilanadi.

Juft va toq funksiyalar. y f x= ( ) funksiya X X R( ⊂ ) to’plamda

aniqlangan bo’lsin.

Ta’rif 1.6. Agar ∀ ∈x X uchun f x(− =) f x( ) bo’lsa, f juft funksiya, f x(− =−) f x( ) bo’lsa, f funksiya toq funksiya deb ataladi.

1.2. Ba’zi elementar funksiyalar

Biz ushbu bitiruv malakaviy ishda asosan elementar (uzluksiz) funksiyalar bilan ish ko’ramiz. Shu sababli, ularning ba’zilarini keltirib o’tamiz.

Butun va kasr ratsional funksiyalar. Ushbu

y a ax= + + +0 1 ... a xn₋1 n₋1 +a xn n

a a a a

ko’rinishdagi funksiya (bunda n N∈ va _{0 1}, ,..., _n−1, _n − o’zgarmas sonlar) butun ratsional funksiya deb ataladi. Butun ratsional funksiya ko’phad deb ham yuritiladi. Bu ratsional funksiya R= −( ∞+∞; )da aniqlangan. Xususan, y ax b= + chiziqli funksiya va y ax= ² + +bx c kvadrat uchhadlar butun ratsional

funksiyalardir. Malumki, chiziqli funksiyaning grafigi tekislikda to’g’ri chiziqdan

iborat, kvadrat uchhadning grafigi esa paraboladan iborat. Darajali funksiyalar. Ushbu

y x= ^k

ko’rinishdagi funksiya darajali funksiyalar deb ataladi, bunda ixtiyoriy o’zgarmas haqiqiy son. Darajali funksiyaning aniqlanish sohasi k ga bog’liq. k butun son bo’lganda ratsional funksiyaga ega bo’lamiz.

1 k 1k

Agar k ratsional, masalan y= > 0 bo’lsa, n juft bo’lganda x =x n funksiyaning aniqlanish sohasi X = +[0; ∞), toq bo’lganda esa funksiyaning aniqlanish sohasi R= −( ∞+∞; ) oraliqdan iborat bo’ladi. k irratsional bo’lganda esa x> 0 deb olinadi. Darajali funksiyaning grafigi esa k> 0 bo’lganda har doim tekislikning (0;0) hamda (1;1) nuqtalaridan o’tadi. Darajali funksiya y x= ^k ushbu

(0;+∞)oraliqda k> 0 bo’lganda o’suvchi, k< 0 bo’lganda esa kamayuvchi

bo’ladi.

Ko’rsatkichli funksiya. Ushbu

y a= ^x

ko’rinishdagi funksiya ko’rsatkichli funksiya deb ataladi, bunda a> 0 va a≠1.

Ko’rsatkichli funksiyaning aniqlanish sohasi R to’plamdan iborat bo’lib, funksiya qiymatlari esa har doim musbat bo’ladi. Bu funksiyaning grafigi OX o’qidan yuqorida bo’ladi va doim tekislikning (0;1) nuqtasidan o’tadi. Logarifmik funksiyalar. Ushbu

y= log_a x

ko’rinishdagi funksiya logarifmik funksiya deb ataladi, bunda a> 0 va a≠1.

Logarifmik funksiya X = +(0; ∞) intervalda aniqlangan. Bu funksiyaning grafigi

OY o’qining o’ng tomonida joylashgan va doim tekislikning (1;0) nuqtasidan o’tadi.

Natural argumentli funksiyalar (Sonli ketma-ketliklar). Faraz qilaylik, f x( ) funksiya N ={1,2,, ,n } to’plamda aniqlangan bo’lsin. Bu holda funksiyaning argumenti natural son bo’ladi. Shuning uchun funksiyani natural argumentli funksiya deyiladi va f n( ) kabi yoziladi. Bu funksiyaning qiymatlari

x_n = f n( ), (n=1,2,3,...)

dan tashkil topgan ushbu

x x x x

_{1 2 3}, , ,..., _n,...

(1.3)

to’plam sonlar ketma-ketligi deyiladi, to’plamning elementlari esa ketmaketlikning

hadlari deyiladi.

Ta’rif 1.7. Agar

∃ ∈ ∀ ∈M R, n N x: _n ≥m

Tengsizlik bajarilsa, (1.3) ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan,

∃ ∈ ∀ ∈M R, n N x:_n ≤m

tengsizlik bajarilsa, (1.3) ketma-ketlik quyidan chegaralangan deyiladi.

Ta’rif 1.8. Agar (1.3) ketma-ketlik ham quyidan ham yuqoridan

chegaralangan bo’lsa, u chegaralangan ketma-ketlik deyiladi. Ta’rif 1.9. Agar ∀ ∈n N uchun

xn ≥xn₋1

tengsizlik bajarilsa, (1.3) ketma-ketlik o’suvchi,

xn >xn₋1

tengsizlik bajarilsa, (1.3) ketma-ketlik qat’iy o’suvchi deyiladi. Ta’rif 1.10. Agar ∀ ∈n N uchun

xn ≤xn₋1

tengsizlik bajarilsa, (1.3) ketma-ketlik kamayuvchi,

xn <xn₋1

tengsizlik bajarilsa, (1.3) ketma-ketlik qat’iy kamayuvchi deyiladi.

O’suvchi va kamayuvchi ketma-ketliklar umumiy nom bilan monoton ketmaketliklar deyiladi.