İnformatikanin əsaslari

Riyazi məntiqin elementləri

Kompüterin aparat və proqram vasitələrinin fəaliyyət məntiqini təsvir etmək üçün riyazi məntiqdən istifadə edilir.
Məntiqi dəyişən 2 qiymət alır: 0 və 1. 0-yalan, 1-gerçək deməkdir.

x_1, x_2,..., x_n
məntiqi dəyişənlərinin qiymətləri çoxluğu dəyişənlər yığımı adlanır.

Məntiqi dəyişənlər yığınını ⁿ mərtəbəli 2-lik ədəd kimi təsvir edirlər ki, bunun da hər mərtəbəsi bir dəyişənin qiymətinə uyğundur.
Məntiqi dəyişənlər yığınının ( ^x_1, ^x_2,^{..., x}_n ) məntiqi funksiyası f (x_1, x_2,..., x_n ) elə funksiya- dır ki, yalnız iki qiymət alır: 0 və 1.
Məntiqi funksiyanın təyinolunma oblastı həmçinin arqumentlərin mümkün yığınla- rının sayından da asılıdır. İstənilən məntiqi funksiya gerçəklik cədvəlinin köməyi ilə verilə bilir. Cədvəlin sol tərəfində arqumentlərin mümkün yığınları, sağ tərəfində isə uyğun funksiyanın qiyməti verilir. Lakin arqumentlər çoxsaylı olduqda cədvəl münasib olmur. Buna görə də mürəkkəb məntiqi ifadələri sadələşdirmək lazım gəlir. Beləliklə mürəkkəb məntiqi funksiya elementar funksiyalar vasitəsilə ifadə edilir. İstənilən mürəkkəblikdə olan məntiqi funksiyanı ifadə etməyə imkan verən elementar məntiqi funksiyalar tam funksional sistem təşkil edir.

n
ⁿ dəyişənli məntiqi funksiyaların ümumi sayı ²²
4 funksiyası vardır:
qədər olur. Beləliklə, 1 arqumentin

x	f0 ( x )	f1 ( x )	f 2 ( x )	f 3 ( x )
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Göründüyü kimi, f₀ ( x )
0 və f₃ ( x )
1 sabitdir. f₁( x ) funksiyası arqumenti təkrar

edir: f₁( x )
x . f₂ ( x ) funksiyası isə arqumenti inkar edir: ^f₂ ^{( x )} .

2 arqumentli məntiqi funksiyaların sayı 16-dır:

^x1 ^x2 ^f0 ^f1 ^f2 ^f3 ^f4 ^f5 ^f6 ^f7 ^f8 ^f9 ^f10 ^f11 ^f12 ^f13 ^f14 ^f15

0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

Göründüyü kimi, bu funksiyalardan 6-sı cırlaşmış funksiyadır. Bunlar aşağıdakılardır:

f₀ ( x₁, x₂ ) 0
f₁₀ ( x₁, x₂ ) x₂
f₃ ( x₁, x₂ ) x₁
f₁₂ ( x₁, x₂ ) x₁
f₅ ( x₁, x₂ ) x₂
f₁₅ ( x₁, x₂ ) 1

f₁( x₁, x₂ ) və f₇ ( x₁, x₂ ) funksiyaları uyğun inversiya (inkar) funksiyaları ilə birlikdə təcrübədə tez-tez rast gələn tam funksional sistem təşkil edir. Bu sistem 3 elementar məntiq əməli ilə təşkil edilir: inversiya, konyunksiya və dizyunksiya.
Konyunksiya əməliyyatı ( ^f₁ funksiyası) ilə işarə edilir. Hərdən nöqtə ilə əvəz olunur. Çox zaman nöqtə də atılır.
Dizyunksiya əməliyyatı ( ^f₇ funksiyası) ilə işarə edilir. İnkar, konyunksiya və dizyunksiya əməliyyatlarının gerçəklik qiymətləri aşağıdakı kimidir:
İnkar Konyunksiya Dizyunksiya

x	x	x1	x2	x1 x2	x1	x2	x1 x2
0	1	0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	0	0	1	1
		1	0	0	1	0	1

1

1

1

1

1

1

Məntiqi əməliyyatlarla birləşdirilmiş məntiqi dəyişənlər məntiqi ifadə əmələ gətirir. Daxili mötərizələrdə əvvəlcə inversiya, sonra konyunksiya, sonra isə dizyunksiya əməli icra edilir. Məsələn,

f ( x₁, x₂ , x₃ ) ( x₁ x₂ x₂
x₃ ) x₁
^x₃ ifadəsi (0,1,1) yığınında yalan (0),

(1,0,1) yığınında isə gerçək (1) qiymət alır.

Riyazi məntiqin əsas qanunları aşağıdakılardır: Kommutativlik qanunu:

x₁ x₂
x₁ x₂
x₂ x₁
x₂ x₁

Assosiativlik qanunu:

x₁ ( x₂
x₁ ( x₂
x₃ ) ( x₁
x₃ ) ( x₁
x₂ ) x₃
x₂ ) x₃

Distributivlik qanunu:

x₁ ( x₂
x₃ )
x₁ x₂
x₁ x₃

x₁ ( x₂
x₃ ) ( x₁
x₂ ) ( x₁
x₃ )

de Morqan qaydası:

x₁ x₂
x₁ x₂
x₁ x₂
x₁ x₂

0 və 1 sabitləri ilə əməllər:

0 1 1 0 1 x x 0 x 0
0 x x 1 x 1

Dəyişənin öz inkarı ilə aparılan əməllər:


x x 1 x x 0
Udulma qanunu:

x₁ x₁
x₁ ( x₁
x₂ x₁
x₂ ) x₁

İdempotentlik qanunu:

x x x


x x x
İkiqat inkar qanunu:

Qalan 8 funksiya inversiya, konyunksiya və dizyunksiya əməliyyatları vasitəsilə ifadə edilə bilir. Belə ki:

f₂ ( x₁, x₂ ) funksiyası x₂ üzrə qadağan funksiyasıdır və x₁
x₂ əməliyyatı ilə ifadə edilir.

Bu, ―əgər x₁ gerçəkdirsə, onda x₂ də gerçəkdir hökmü yalandır‖- deməkdir.

f₄ ( x₁, x₂ ) funksiyası x₁ üzrə qadağan funksiyasıdır və x₂
x əməliyyatı ilə ifadə edilir.

Bu, ―əgər x₂ gerçəkdirsə, onda x₁ də gerçəkdir hökmü yalandır‖- deməkdir.

f₆ ( x₁, x₂ ) funksiyası 2 modulu üzrə toplama adlanır. x₁ x₂
x₁ x₂ əməliyyatı ilə ifadə

edilir və x₁
x₂ kimi işarə edilir. Bu, ― x₁ x₂ ilə eyniqiymətli deyil‖ - kimi oxunur.

f₈ ( x₁, x₂ ) funksiyası Pirs oxu adlanır və dizyunksiyanın inkarıdır. ^x₁
^x₂ kimi işarə

edilir. Bu, həm də de Morqan qaydasına uyğundur: x₁ x₂
x₁ x₂ .

f₈ ( x₁, x₂ ) funksiyası ―nə x₁ -dir, nə də x₂ -dir‖-kimi oxunur.

f₉ ( x₁, x₂ ) funksiyası ekvivalentlik funksiyasıdır. x₁ x₂
x₁ x₂ ilə ifadə edilir. x₁ x₂

kimi işarə edilir. ― x₁ -lə x₂ eyni qiymətlidir‖ - kimi oxunur.

f₁₁( x₁, x₂ ) implikasiya funksiyasıdır. x₁
x₂ ilə ifadə edilir. x₂
x₁ kimi işarə edilir.

―Əgər x₂ gerçəkdirsə, x₁ də gerçəkdir‖ - kimi oxunur.

^f₁₃ ^{( x}₁ ^{, x}₂ ⁾ implikasiya funksiyasıdır. ^x₂
^x₁ ilə ifadə edilir. ^x₁
^x₂ kimi işarə edilir.

―Əgər x₁ gerçəkdirsə, x₂ də gerçəkdir‖ - kimi oxunur.
^f₁₄ ^{( x}₁^{, x}₂ ⁾ Şeffer ştrixi (konyunksiyanın inkarı) adlanır. Bu da de Morqan qaydasına

uyğundur: x₁ x₂
x₁ x₂ . Şeffer ştrixi x₁ / x₂
kimi işarə edilir. Bu, ― x₁ və x₂ gerçəkdirsə,

funksiya yalandır‖ deməkdir.