Jamiyat fikrining abstraktlanish jarayoni

18 AMALIY MASHG`ULOT
MURAKKAB MASALALARNI MODELLASHTIRISHGA DOIR MASALALAR
Ishdan maqsad: Murakkab tizimlarning matematik modelini urganish


Topshiriqlar:
Gamilton-Ostrogradskiy tamoyili qo’llanishining umumiy sxemasini misolda ko’rsatib o’tamiz. Buning uchun yupqa plastinkalarning berilgan magnit maydonda harakati tenglamasini (boshlang’ich va chegaraviy shartlar hisobga olgan holda) chiqarishni ko’ramiz va bu yerda yuqorida keltirilgan Gamilton-Ostrogradskiy tamoyilini qo’llaymiz. Gamilton-Ostrogradskiy tamoyili quyidagi ko’rinishda yoziladi:
. (1)
Bu yerda K, P – kinetik va potensial energiya, A – tashqi hajmiy va sirt kuchlarining ishi, ularning variatsiyalari mos ravishda quyidagicha aniqlanadi [5,55]:
,

Elektr-magnit kuchlarni hisobga olgan holda ishning variatsiyasi quyidagicha aniqlanadi:

+

,

bu yerda – hajmiy kuchlarning tashkil etuvchilari; , – sirt kuchlarning tashkil etuvchilari; P_x, P_y, P_z, T_xx, T_xy, T_xz, F_x, F_y, F_z, T_yx, T_yy, T_yz – kontur kuchlarning tashkil etuvchilari; r – jism materialining zichligi.

Bu yerda yupqa plastinkalar elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari Gamilton-Ostrogradskiy variatsion tamoyili (1) asosida chiqariladi. Konkret modellarni chiqarishda Koshi geometrik munosabatlari va Guk qonuni teskari ko’rinishdagi fizik munosabatlar, hamda ko’chishning o’zgarish qonuni qo’llaniladi. Modellarni ishlab chiqishda to’g’ri chiziqli koordinatalar tizimi qo’llaniladi.
Plastinkalarning harakat tenglamalarini chiqarishda harakatning o’zgarish qonuni sifatida Kirxgof-Lyav gipotezasi qo’llaniladi:
, . (2)
Bu yerda U, V – ko’chish, W - egilish.
Koshi geometrik munosabatlari (2) asosida quyidagi ko’rinishga ega:
, (3)
.
Kirxgofa-Lyav gipotezasiga ko’ra Guk qonunini quyidagi ko’rinishda olamiz:
,
, (4)
,
bu yerda ν –Puasson koeffisienti, E – elastiklik moduli.
Bulardan foydalangan holda kinetik, potensial energiya va tashqi kuchlarning variatsiyalari ifodalarini Gamilton-Ostrogradskiy variatsion tamoyiliga (1) qo’yamiz. Kinetik energiya variyatsiyasi yig’indilari uchun bo’laklab integrallashni bajaramiz. Potensial energiya variyatsiyasi uchun esa Ostrogradskiy-Gauss teoremasini qo’llaymiz. Yuqorida keltirilgan amallarni bajargandan so’ng o’xshash hadlarni (integrallarni) ixchamlaymiz va variatsion tenglamani olamiz. Olingan variatsion tenglama ixtiyoriy v hajm uchun o’rinli. Shuning uchun, v sohaning ixtiyoriyligiga ko’ra, plastinkaning harakat tenglamalarini va tabiiy chegaraviy (boshlang’ich) shartlarni olamiz.
harakat tenglamalari:

5)
Tabiiy chegaraviy shartlar:


(6)

_,

bu yerda:








Shunday qilib Kirxgof-Lyav gipotezasidan foydalangan holda Gamilton-Ostrogradskiy variatsion tamoyili asosida olingan (5) – harakat tenglamasi va (6) – plastinkaga qo’yiladigan chegaraviy shartlar (boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda) uning matematik modelini tashkil qiladi.