Ájayıp limitler. Birinshi hám ekinshi ájayıp limitlar

Funksiya limitiniń tiykarǵı ózgeshelikleri:
1) jıyındınıń limiti. Shekli sandaǵı funksiyalar algebralıq jıyındısınıń limiti, qosılıwshı funksiyalar limitleriniń algebralıq jıyındısına teń, yaǵnıy hám funksiyalardıń daġı limitleri bar bolsa,
(5)
2) shekli sandaǵı funksiyalar kóbeymesiniń limiti funksiyalar limitleriniń kóbeymesine teń, yaǵnıy
(6)
Nátiyje: Ózgermeytuǵın kóbeymesin limit belgisinen tısqarıġa shıǵarıw múmkin, yaǵnıy,
(7)
3) Eki funksiya qatnasınıń limiti, bólimniń limiti nolden ayrıqsha bolsa, bul funksiyalar limitleriniń qatnasına teń, yaǵnıy bo'lsa,
(8)
boladı.
Limitlerdi esaplawda tómendegi limitlarden paydalanıladı:
; (9)
(10)
Bul limitlerge uyqas túrde birinshi hám ekinshi ájayıp limiter dep ataladı.


2. Anıq emeslikler hám olardı ashıw
1. Anıq emeslikler. limitti esaplawda funksiyalar sh. kish. f. lar bolsa, koefficientke de (0/0) kórinistegi anıq emeslik dep ataladı. funksiyalar sh. úlk. f. lar bolsa, koefficientke de kórinisindegi anıq emeslik dep ataladı. Tap soǵan uqsas anıq emeslikler

limitlerdi esaplawda kelip shıǵadı. Bunday jaǵdaylarda limitlarni esaplawǵa anıq emesliklardi ashıw dep ataladı.
hám ( ) kórinistegi anıq emesliklerdi ashıwda tómendegi qasiyetten paydalanıladı: hám funksiyalar noqattıń qandayda bir átirapındaǵı hámme noqatlarda óz-ara teń bolsa, olardıń daġı limiti de teń boladı.
Mısalı, hám funksiyalar tıń
ten basqa hámme mánisleri ushın teń, sebebi

Joqarıdaǵı qasiyetke tiykarlanıp,

boladı, yaǵnıy

nátiyjege iye bolamız.
Funksiyalardıń limitin tabıwǵa bir neshe mısallar qaraymız.