Ájayıp limitler. Birinshi hám ekinshi ájayıp limitlar

9 -mısal. limitti birinshi ájayıp limitten paydalanıp esaplań.
Sheshiw. , dep almastırsaq, bunnan, , boladı.
Sonıń ushın,
,
sebebi
.
10 -mısal. limitti ekinshi ájayıp limitten paydalanıp esaplań.
Sheshiw. de limitke ótsek, kórinistegi anıq emeslik kelip shıǵadı. menen almastırsaq, bul mannan hám de de boladı. Sonday eken,

kelip shıǵadı.
Solay qilib,
.
11-mısal. limitti esaplań.
Sheshiw: de hám bolıp, ( ) kórinistegi anıq emeslik kelip shıǵadı.
.
Aqırǵı ańlatpa de anıq emes ańlatpa boladı. Sonday etip,
.
12-mısal. limitti esaplań.
Sheshiw. de kórinistegi anıq emeslik kelip shıǵadı. Tómendegi forma almastırıwdı atqaramız:

Aqırǵı ańlatpa te kórinistegi anıq emeslik bolıp, 11-mısaldaǵı sıyaqlı tıń joqarı dárejelisine súwret hám bólimi bolıp,

bunda de boladı.
3. Limitlar haqqındaǵı teoremalar
Funksiyanıń limiti haqqındaǵı tiykarǵı teoremalar (jıyındı, kóbeyme, bólindi haqqındaǵı) izbe-izlik limitleriniń teoremalarına uqsas funksiyanıń limitin esaplawdı da ańsatlashtiradi.
1-teorema. Funksiyalar jıyındısınıń (ayırmasınıń) limiti sol funksiyalar limitleriniń jıyındısına (ayırmasına) teń:

2-teorema. Funksiyalar kóbeymesiniń limiti sol funksiyalar limitleriniń kóbeymesine teń:

Nátiyje. Ózgermeytuǵın kóbeytiwshisin limit belgisiniń aldına shıǵarıw múmkin
3-teorema. Funksiyalar bólindiniń limiti sol funksiyalar limitleriniń bólindige teń, qashanda, bóliwshi funksiyanıń limiti nolden ayırıqsha bolǵanda:
,

4-teorema. Eger hám funksiyaları ushın a noqattıń qandayda bir aralıǵinda  teńsizlikler atqarılıp,  bolsa ol jaġdayda boladı.
1-mısal. ni esaplań.
Sheshiw. Funksiyanıń limitleri haqqındaǵı teoremalardan paydalanıp, tómendegilerdi tabamız:

2-mısal. di esaplań.
Sheshiw. Bólimniń limitin tabamız:

Sol sebepli 3-teoremadan paydalanamız: