Kafedrasi fanidan kurs ishi


Natija-1. Ushbu (2.1.5) Koshi masalasi yagona , yechimga ega. Isbot



Yüklə 0,51 Mb.
səhifə3/8
tarix27.04.2023
ölçüsü0,51 Mb.
#103169
1   2   3   4   5   6   7   8
DIFFERENSIAL KURS.ISHI-2022

Natija-1. Ushbu
(2.1.5)

Koshi masalasi yagona , yechimga ega.
Isbot. Ko’rinib turibdiki funksiya (2.1.5) Koshi masalasining yechimidan iborat. Yechimning yagonaligidan natija-1 ning isboti kelib chiqadi.
Quyidagi
(2.1.6)
belgilash natijasida (2.1.1) va (2.1.2) differensial tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin:
L[y]=g(x), (2.1.7)
L[y]=0 . (2.1.8)
Bu yerda L[y] ifodaga differensial operator deyiladi. Endi differensial operatorning ayrim xossalari bilan tanishamiz.
Lemma-2. O`zgarmas ko`paytuvchini operator belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya`ni
L[cy]=cL[y], c=const.
Isbot.

Lemma-3. Ushbu

tenglik o`rinli.
Isbot.

Natija -2. Ushbu

tenglik o`rinli. Bu yerda .
Teorema-2. Agar y=y(x) funksiya [a,b] kesmada (2.1.8) bir jinsli differensial tenglamaning yechimi bo`lsa, u holda funksiya ham (2.1.8) tenglamaning yechimi bo`ladi.
Isbot. Teorema shartiga ko`ra L[y]=0. Bundan kelib chiqadi.
Teorema-3. Agar funksiyalar [a,b] kesmada (2.1.8) bir jinsli differensial tenglamaning yechimi bo`lsa, u holda

funksiya ham [a, b] kesmada (8) tenglamaning yechimi bo`ladi.
Isbot. Teorema shartiga ko`ra

Natija-3. Agar funksiyalar [a,b] kesmada (2.1.8) bir jinsli differensial tenglamaning yechimlaridan iborat bo`lsa, u holda ushbu

funksiya ham (2.1.8) tenglamaning yechimi bo’ladi.


2.1.1. Chiziqli oʻzgarmas koeffitsiyentli yuqori tartibli bir jinsli differensial tenglamalar

Nazariyada va amaliyotda ikki xil tipdagi tenglamalarni farqlashadi – bir jinsli va bir jinsli boʻlmagan tenglamalar.


Oʻzgarmas koeffitsiyentli chiziqli bir jinsli ikkinchi tartibli differensial tenglamalar quyidagicha koʻrinishda boʻladi:
, p va q lar – konstantalar
Oʻng tomoni esa qatʼiy nol boʻlishi lozim.
Bunday differensial tenglamalarni yechish uchun:
Xarakteristik tenglamani tuzish lozim:

Tenglama  -ni oʻrniga   -ni oʻrniga  qoʻyib hosil qilinadi, y ni oʻrniga hech nima yozmaymiz.
 – oddiy kvadratik tenglamani yechamiz,  ildizlarni topamiz.
Ildizlarga qarab uch xil holatga duch kelishimiz mumkin:
Agar D>0 boʻlsa,  – turli xil haqiqiy ildizga ega boʻlamiz, bunday
holatda differensial tenglama ildizlari quyidagicha boʻladi:
 c1, c2 - konstantalar
ko`rinishida bo`ladi.
Tushunarliki  – larning birortasi 0 boʻlsa, umumiy yechim (masalan  boʻlsin)

koʻrinishni oladi.
Agar xarakteristik tenglama ikkita karrali yechimga ega boʻlsa 
yaʼni D=0 boʻlsa, u holda bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi
 - konstantalar
Agar ikkala yechim ham  boʻlsa, umumiy yechim yana soddalashadi:
 c1,c2 - konstantalar.
Aynan  primitiv differensial tenglamaning yechimi boʻladi:

Agar D<0 boʻlsa, xarakteristik tenglama qoʻshma kompleks ildizlarga ega
boʻladi:

u holda bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi quyidaicha koʻrinishda boʻladi:
 konstantalar
Agar kompleks yechimlar toza mavhum sonlardan iborat boʻlsa, yaʼni a =0 boʻlsa

u holda yechim quyidagicha boʻladi:
  konstantalar
har bir  m-karrali ildiz boʻlsa, u holda unga mos umumiy yechim

Koʻrinishda boʻladi, C1,C2, C3 konstantalar.
Misol 2.1. 


Agar bir jinsli differensial tenglama umumiy holda

koʻrinishda boʻlsa ham hech nima oʻzgarmaydi. Kvadrat tenglama ildizlari ildizlik chiqsa ham hech qanday muammo yoʻq, yechimni qanday boʻlsa shunday yozaveramiz:
Masalan: ,
C1 ,C2 konstantalar.
Agar xarakteristik tenglama ildizlari qoʻshma kompleks ildizlar boʻlsa;
Masalan: ,
  konstantalar
Yuqori tartibli bir jinsli differensial tenglamalar:
konstantalar
Bunday differensial tenglamalarni yechish uchun tushunarlliki
Xarakteristik tenglamani tuzish lozim:

Kubik tenglama 3 ta ildizga ega (n – tartibli tenglama n ta ildizga ega)
Agar ildizlar har xil haqiqiy ildizlar boʻlsa, masalan:  boʻlsin, u holda umumiy yechim quyidagicha:
 C1,C2, C3 - konstantalar
Agar bitta ildiz haqiqiy , qolgan ikkitasi qoʻshma kompleks ildiz boʻlsa:
,
u holda yechim quyidagicha boʻladi:

Agar uchta ildiz ham karrali boʻlsa:  u holda umumiy yechim:
 - konstantalar
Xususan  boʻlsa, umumiy yechim:
 , C1,C2, C3- konstantalar
Xuddi shunday oʻzgarmas koeffitsiyentli 4-tartibli chiziqli bir jinsli tenglamalarda ham
lar konstantalar.
Mos xarakteristik tenglama:

Har doim 4 ta yechimga ega boʻladi, umumiy yechim xuddi yuqorida aytilgan prinsipda yoziladi, faqatgina 4 ta ildiz ham karrali boʻlganda, masalan  boʻlsa, umumiy yechim quyidagicha:

- konstantalar, korinishda boʻladi.
Ushbu
(2.1.1. 1)
differensial tenglamaning ixtiyoriy n ta chiziqli bo’g’lanmagan yechimlariga, uning fundamental yechimlari sistemasi (F.Y.S) deyiladi.
Teorema-2.1. Uzluksiz koeffitsientli (1) ko`rinishdagi bir jinsli differensial tenglamaning fundamental yechimlari sistemasi (F.S.Y) mavjud.
Isbot. Aytaylik sonlardan tuzilgan

determinant nolga teng bo`lmasin. U holda differensial tenglamaning ushbu
(2.1.1.2)
boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlari mavjud. Bu yechimlardan tuzilganVronskiy determinantini qaraylik:
.
Endi ni hisoblaymiz:
.
Shuning uchun funksiyalar chiziqli bog`lanmagan bo`ladi. Demak (2.1.1.1) bir jinsli differensial tenglamaning mavjud ekan.

Yüklə 0,51 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6   7   8




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin