Kafedrasi fanidan kurs ishi

III. Amaliy qism
3.1. n-tartibli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglamalarga doir misollar
(Biz n=2 bo`lgan hol uchun qaraymiz).
1-misol. tenglamaning xususiy echimini toping.
Ushbu holda . Xarakteristik tenglama
bo'lib, uning ildizlari 2 va 4 ga teng. .
Tenglamaning xususiy echimini ko`rinishda qidiramiz. Funksiya hosilalarini aniqlaymiz:


ifodalarni tenglamaga qo`yiladi va ga qisqartirilgandan so`ng:

yoki
Mos koeffitsientlarni tenglab, natijani olamiz. Izlanayotgan xususiy echim:
Tenglamaning umumiy echimi
2-misol. tenglamaning xususiy echimini toping.
Xarakteristik tenglamani echamiz.
. Bizning holatda va bo'lib, xarakteristik tenglamaning ildizi emas. Demak, xususiy echim quyidagicha qidiriladi
.
Funksiya hosilalarini aniqlaymiz:

.
ifodalarni tenglamaga qo`yamiz va soddalashtiramiz

Yoki .
Bundan

yoki . Xususiy echim
Demak, umumiy echim ,
bu erda va ixtiyoriy o'zgarmas sonlar.
Izoh. Agar o`zgarmas koeffitsientli tartibli chiziqli

differentsial tenglama o`rganilayotgan bo`lsa, uning ymumiy echimini qurish uchun
xarakteristik tenglamadan foydalaniladi. Xususiy echimni topish usuli ikkkinchi tartibli tenglama holidagi bilan bir xil.
3-misol.

Yechish:

o`ng tomonini 0 ga tenglab yechamiz.
 , 
Karrali ildiz bo`lganligi uchun yechim quyidagi ko`rinishda bo`ladi.
 o`ng tomon yechimini quyidagidan topamiz,
 ikki marta hosila olamiz va tenglamaga qo`yamiz.
 
 Bu tenglamani yechib,
 ga qo`yamiz.
 
Yakuniy javobi quyidagicha bo`ladi: