Kafedrasi fanidan kurs ishi

Kurs ishi maqsadi: n- tartibli differensial tenglamalarning chiziqli, o`zgarmas koeffitsiyentli, bir jinsli bo`lgan va bo`lmagan hollarini o`rganish, shu ko`rinishdagi tenglamalarni yechishning turli usullari (Lagranj)ni o`rganish.
Kurs ishi tuzilishi va hajmi: ushbu kurs ishi V bo`limdan iborat bo`lib, kirish, asosiy qism, amaliy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat.
II. Asosiy qism
2.1. n- tartibli differensial tenglamalarning umumiy xossalari
n-tartibli oddiy differensial tenglamalarning muhim xususiy hollaridan biri, n-tartibli chiziqli differensial tenglama bo`lib, u quyidagi ko`rinishda yoziladi:
(2.1.1)
Bunga n-tartibli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglama deyiladi.
Agar (1) tenglamada g(x)=0 ,ya`ni
(2.1.2)
bo`lsa, bunga n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi. Bu yerda -berilgan uzluksiz funksiyalarga mos ravishda (2.1.1) tenglamaning koeffitsiyentlari va uning o`ng tomoni deyiladi.
Teorema. Bir jinslimas differensial tenglamaning umumiy yechimi ushbu tenglama biror xususiy yechimi va ning bir jinsli tenglamasi umumiy yechimlari yig`indisiga teng.
Ta`rif-1. (1) differensial tenglamani ayniyatga aylantiruvchi funksiyaga uning yechimi deyiladi.
Lemma-2.1. Agar ko`rinishda bo`lib, va funksiyalar mos ravishda ushbu

differensial tenglamaning yechimidan iborat bo`lsa, u holda funksiya (2.1.1) tenglamaning yechimi bo`ladi.
Natija-2.1. Agar , funksiyalar (2.1.2) bir jinsli tenglamaning yechimlari bo`lib, -ixtiyoriy o`zgarmas sonlar bo`lsa u holda funksiya (2.1.2) tenglamaning yechimi bo`ladi.
Bu ikki tasdiqqa (2.1.1) tenglama uchun superpozitsiya prinsipi deyiladi. Superpozitsiya prinsipi faqat chiziqli differensial tenglamaga xos xususiyatdir.
Endi (2.1.1) differensial tenglamaga qo`yilgan
(2.1.2)
Koshi masalasini qaraymiz. Bunda va berilgan sonlar.
Teorema-2.1. Faraz qilaylik va funksiyalar uzluksiz bo`lib, bo`lsin. U holda -berilgan sonlarning ixtiyoriy qiymatlarida (2.1.1), (2.1.2) Koshi masalasining [a,b] kesmada aniqlangan yagona yechimi mavjud.
Isbot. Avvalo (2.1.1) differensial tenglamani ushbu
(2.1.4)
ko`rinishda yozib olamiz. Bu yerda
(2.1. )
Bu funksiya 18-paragrafdagi teorema-1 ning shartlarini qanoatlantirishini ko`rsatamiz. Aniqlanishiga ko`ra, bu funksiya ushbu

sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lib o’zgaruvchilar bo’yicha Lipshits shartni qanoatlantiradi. Haqiqatan ham, quyidagi

munosabatdan

kelib chiqadi. Chunki funksiyalar [a,b] kesmada uzluksiz. Endi, ushbu

belgilashni olsak, u holda ( ) tenglik orqali aniqlangan funksiya o`zgarmas bilan o`zgaruvchilar bo`yicha Lipshits shartini qanoatlantirishiga ishonch hosil qilamiz. Shuning uchun (1), (3) Koshi masalasining [a,b] kesmada aniqlangan yechimi mavjud va yagona bo`ladi.