Кучланиш ва дифференциаллар

Yuqori tomonda:
.
1
)
0
cos(
;
0
)
270
cos(
;
1








m
y
,
6
3
)
1
(
)
1
6
3
(
0
2
2
2








x
x
X
x


( kvadratik parobola). 
;
6
,
0




X
x
va
.
69
6
5
3
,
5
2






X
x
0


Y
hol uchun
y
ni qiymatini topamiz 
.
414
,
1
3
6
;
0
6
3
2
,
1
2






x
x

---

38 
,
4
6
0
)
1
(
)
4
1
6
(










x
x
Y
yx


( to‘g‘ri chiziq ). 
;
4
,
0



Y
x
va
.
26
4
5
6
,
5








Y
x
4.5-rasm. Sirt kuchlari epyurasi 
Quyi tomonda: 
.
1
)
180
cos(
;
0
)
90
cos(
;
1










m
y


 
,
3
6
1
)
1
(
6
3
0
2
2
2
x
x
X
x










( kvadratik parobola ). 
;
6
,
0



X
x
va
.
69
,
5




X
x
0


X
hol uchun
x
ni qiymatini topamiz. 
.
414
,
1
3
6
;
0
3
6
2
,
1
2






x
x


,
4
6
0
)
1
(
4
)
1
(
6










x
x
Y
yx


( to‘g‘ri chiziq). 

---

39 
;
4
,
0




Y
x
va 
.
34
,
5




Y
x
Aniqlangan holatlar asosida sirt kuchlari epyuralarini quramiz (4.5-rasm). 
Mustaqil ishlash uchun adabiyotlar 
 
1. Xolmurodov R.I., Xudoynazarov X.X. Elastiklik nazariyasi. I-II qism. 
Toshkent: Fan, 2003 y. 
2. Маматқулов Ш. Эластиклик назариясидан маърузалар. - Т.: ЎзМУ 
нашри, 1995. 
3. Самул В.И. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. посо-
бие для вузов / В.И. Самул.- 2-е изд., перераб. и доп. – М.:Высш. 
шк., 1982. - 264с. 
4. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползуче-
сти: Учеб./Н.И. Безухов.- 2-е изд., перераб. и доп. – М.:Высш. шк., 
1968. - 512с. 

5. ELASTIKLIK NAZARIYASI TEKIS MASALALARINI QUTB 
KOORDINATALAR YORDAMIDA YECHISH 
 
5.1. Tekis masala tenglamalarini qutb koordinatalar
sistemasidagi ifodasi 
Ko‘pchilik hollarda elastiklik nazariyasi masalalarining murakkablik 
darajasi koordinatalar sistemasini tanlanishiga bog‘liq bo‘ladi. Agar 
koordinatalar sistemasi masalaning mohiyatidan kelib chiqqan holda tan-
lansa, yechim juda yengil olinishi mumkin. Tekis masalalarni yechishda 
jism doiraviy, silindr shaklida bo‘lsa, dekart koordinatalar sistemasidan 
qutb koordinatalar sistemasiga o‘tish maqsadga muvofiq hisoblanadi. 
Muvozanat tenglamalari quyidagi ko‘rishda olinadi: 
0
2
1
0
1


















r
r
r
R
r
r
r
r
r
r
r
r














(5.1)
 

---

40 
Kuchlanishlar uchun quyidagi belgilashlar olingan: 
r

- radius yo‘nalishidagi normal kuchlanish yoki radial kuchlanish;


- radial kuchlanishga perpendikulyar yo‘nalgan normal kuchlanish 
yoki tangensial kuchlanish;
r
r





- urinma kuchlanish. 
Qutb koordinatalar sistemasida Koshi munosabatlari quyidagi 
ko‘rinishni oladi: 
.
1
;
1
;
























u
r
r
r
r
u
r
r
u
r
r
(5.2) 
Uzviylik tenglamasi qutb koordinatalar sistemasida quyidagi 
ko‘rinishni oladi:


0
1
1
2
2
2
2
2




















r
r
r
r
r
. 
(5.3) 
Masalalarni yechishda, dekart koordinatalar sistemasidagi kabi bu 
yerda ham kuchlanishlar funksiyasi 
)
,
(


r
ni kiritish maqsadga muvofiq 
hisoblanadi.
Ma’lumki, dekart koordinatalar sistemasida kuchlanishlar funksiyasi 
orqali ifodalangan uzviylik tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega edi:
0
)
(
2
2




yoki
0
2
2
2
2
2
2
2
2























y
x
y
x


. 
Bundan, uzviylik tenglamasi qutb koordinatalar sistemasida (5.3.) 
quyidagi ko‘rinishni oladi:
0
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2


































r
r
r
r
r
r
r
r
. (5.4) 
Dekart koordinatalar sistemasida kuchlanishlar funksiyasi bilan 
kuchlanishlar orasida munosabatlar quyidagicha ifodalangan edi: 
y
x
x
y
xy
y
x

















2
2
2
2
2
;
;
. 
Kuchlanishlar funksiyasining qutb koordinatalar sistemasidagi 
ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:

---

41 
.
1
1
1
;
;
1
1
2
2
2
2
2
2
2














































r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
(5.5) 
Qutb koordinatalar sistemasida kuchlanishlar bilan deformasiyalar 
orasidagi bog‘lanishlar dekart koordinatalar sistemasidagi kabi bo‘ladi, fa-
qat belgilashlar o‘zgaradi, ya’ni 
x
bilan y ning o‘rniga 
r
va 

kiritiladi. 
Tekis deformasiya holatida Guk qonuni quyidagi ko‘rinishni oladi:
,
1
;
1
1
;
1
1
2
2



















r
r
r
r
r
G
E
E





















(5.6) 
 
 
5.2. Mustaqil ish №3. Elastiklik nazariyasi tekis masalalarini qutb
koordinatalar yordamida yechish 
 
Topshiriqni bajarish namunasi 
 
Masala.
Quyidagi funksiyani 
.
cos



Ar

1.
Tekis elastiklik masalasini yechish uchun kuchlanish funksiyasi sifat-
ida qabul qilish mumkinmi? 
2.
Agar mumkin bo‘lmasa qanday shartda mumkin bo‘ladi? 
3.
Mumkin bo‘lgan funksiyalarda kuchlanishlarni aniqlang. 
Yechish:
Berilgan funksiyalar kuchlanish funksiyasi bo‘lishi uchun 
quyidagi tenglamani qanoatlantirishi kerak. 
0
2
2




bu yerda



















2
2
2
2
2
2
1
1
r
r
r
r
shuning uchun berilgan funksiyalardan 

,
r
bo‘yicha hosila olamiz. 

---

42 


















cos
sin
2
cos
sin
sin
0
;
sin
cos
;
cos
2
2
2
2
Ar
Ar
Ar
Ar
Ar
r
Ar
Ar
A
r


















Bundan 

2

ning tenglamasiga qo‘ysak, 


.
sin
2
cos
sin
2
cos
1
cos
sin
2
1
cos
1
2
2
1













r
A
r
A
r
A
A
r
Ar
Ar
r
A
r
















Bu funksiyadan 
1
2
2
2
2
2
1
2
1
1



















r
r
r
r
ni topamiz, bu esa 

2
2


bo‘ladi. Shuning uchun
.
0
sin
2
sin
8
sin
4
sin
2
sin
4
cos
2
sin
2
3
3
3
1
2
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1








































r
A
r
A
r
A
r
A
r
A
r
r
A
r
A
r
Demak, bu funksiya kuchlanish funksiyasi bo‘la oladi. Kuchlanish 
funksiyalari orqali kuchlanishlar quyidagi formulalar yordamida topiladi. 
































r
r
r
r
r
r
r
r
1
;
;
1
1
2
2
2
2
2




0
sin
cos
1
;
0
cos
cos
sin
2
1
sin
1
2


































Ar
Ar
r
r
r
A
Ar
Ar
r
A
r
r
r