Кучланиш ва дифференциаллар

 
3.3-Masala.
Jismning elementar hajmiga ta’sir qiluvchi kuchlar 3.5-
rasmda berilgan. Bosh normal va urinma kuchlanishlarni nisbiy bosh 
deformasiyalarni, nisbiy hajm o‘zgarishi, oktaedrik kuchlanishlarni 
aniqlang. Materialning elastiklik moduli 
5
10
1


E
MPa va Puasson 
koeffitsiyenti 
4
,
0

v
.
3.5 – rasm. 
Yechish
.
1.
Berilganlarga ko‘ra kuchlanishlarni quyidagicha ifodalaymiz:
11

x

MPa, 
13

y

MPa, 
9

z

MPa,
12

xy

MPa, 
14

xz

MPa, 
1

yz

MPa. 
2. Kuchlanish tenzori invariantlarini quyidagicha topamiz:
9
33
13
11
)
(
1









z
y
x
J



MPa,
990
2
2
2
2







yz
zx
xy
z
x
y
x
J







MPa
2
,
2190
2
2
2
3





xz
yx
yz
z
y
x
yx
y
yz
x
J










MPa
3
. 
3. 
0
3
2
2
1
3




J
J
J



kubik tenglamani yechamiz.

---

22 
Bu tenglamani yechishda Nyutonning iterasiya metodi (Maple 
sistemasida 
.)
2190
*
.
990
2
*
*
*
.
9
3
*
*
(



sigma
sigma
sigma
fsolve
opera-
torini kiritish yetarli)dan foydalanamiz; qavs ichidagi 
)
,...,
2
,
1
,
0
(
n
k

nomerlar iterasiya nomerlari 
2
)
(
1
2
3
)
(
2
2
)
(
1
3
)
(
)
1
(
2
)
(
3
)
(
J
J
k
J
J
J
k
k
k
k
k
k















. 
Boshlang‘ich yaqinlashish 
3
3
/
)
(
0





z
y
x




MPa ekanligini 
beradi.
127
,
2
1268
,
5
3
990
3
18
)
3
(
3
2190
3
990
)
3
(
9
)
3
(
3
2
2
3
)
1
(


















MPa, 
127
,
2
990
127
,
2
18
)
127
,
2
(
3
2190
127
,
2
990
)
127
,
2
(
9
)
127
,
2
(
127
,
2
2
2
3
)
2
(











MPa, 
271
,
2
990
271
,
32
18
)
271
,
2
(
3
2190
271
,
2
990
)
271
,
2
(
9
)
271
,
2
(
271
,
2
2
2
3
)
3
(











MPa. 
Oxirgi ikki iterasiyadan 
27
,
2


MPa ekanligini topish mumkin. 
Demak 
kubik 
tenglama 
birinchi 
yechimi 
27
,
2


MPa, 
0
2190
990
9
2
3







kubik tenglamani 
)
27
,
2
(


ga bo‘lamiz: 
2190
4
,
964
2190
4
,
964
6
,
25
27
,
11
2190
990
27
,
11
4
,
964
27
,
11
27
,
2
27
,
2
2190
990
9
2
2
2
2
3
2
3




























Birinchi ildiz to‘g‘ri topilsa, bo‘lishda qoldiq hosil bo‘lmaydi.
Olingan 
0
4
,
964
27
,
11
2





kvadrat 
tenglamani 
yechib 
93
,
25
*
1


MPa, 
20
,
37
*
2



MPa 
ekanligini 
tartib 
bo‘yicha 
93
,
25
1


MPa, 
27
,
2
2


MPa, 
20
,
37
3



MPa.
4. Tekshirish. Invariantni topamiz : 

---

23 
9
20
,
37
27
,
2
93
,
25
)
(
3
2
1
1












J
MPa, 
990
2
,
37
27
,
2
27
,
2
93
,
25
3
1
3
2
2
1
2















J
MPa,
2190
3
2
1
3







J
MPa.
Yuqoridagi natijalar bilan natijalar bir xil.
5. Bosh o‘qlarning yo‘naltiruvchi kosinuslarini topamiz.
.
0
)
(
/
/
,
0
/
/
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
















y
xz
xy
xy
yz
y
l
n
l
m
l
n
l
m
1
1
1
l
m
x

, 
1
1
2
m
l
x

belgilashlar kiritamiz. U holda bu tenglama 
quyidagi ko‘rinishga keladi.
.
0
97
,
14
14
12
,
0
12
1
97
,
12
2
1
2
1









x
x
x
x
Hosil bo‘lgan sistemani yechib, 
95
,
0
1

x
, 
25
,
0
2

x
ekanligini 
aniqlaymiz. Bundan esa yo‘naltiruvchi kosinus
71
,
0
)
25
,
0
(
)
95
,
0
(
1
/
1
1
/
1
2
2
2
2
2
1
1







x
x
l
. 
Bu orqali boshqalarini ham quyidagicha topamiz 
68
,
0
71
,
0
95
,
0
1
1
1




l
x
m
,
18
,
0
71
,
0
25
,
0
1
2
1




l
x
n
. 
6. Yechimni tekshiramiz: 
1
51
,
0
03
,
0
46
,
0
)
71
,
0
(
)
68
,
0
(
2
2
2
1
2
1
2
1








l
n
m
. 
7. Guk qonuniga ko‘ra nisbiy bosh differensiallar quyidagicha topi-
ladi: 
4
5
3
2
1
1
10
99
,
3
10
0
,
1
93
,
34
4
,
0
93
,
25
)
(











E
v




,
4
5
1
3
2
2
10
68
,
0
10
0
,
1
27
,
11
4
,
0
27
,
2
)
(











E
v




,
4
5
2
1
3
3
10
85
,
4
10
0
,
1
2
,
28
4
,
0
2
,
37
)
(













E
v




. 
8. Hajmning nisbiy o‘zgarishini hisoblaymiz
4
4
3
2
1
0
0
1
10
18
,
0
10
)
85
,
4
68
,
0
99
,
3
(
/
)
(
















V
V
V
. 
9. Bosh urinma kuchlanishlarni topamiz:

---

24 
73
,
19
2
/
)
20
,
37
27
,
2
(
2
/
)
(
3
2
1








MPa, 
56
,
31
2
/
)
93
,
25
20
,
37
(
2
/
)
(
1
3
2










MPa, 
83
,
11
2
/
)
27
,
2
93
,
25
(
2
/
)
(
2
1
3








MPa. 
10. Oktoedrik kuchlanishini topamiz
04
,
26
83
,
11
56
,
31
73
,
19
3
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
1











oct
MPa.
 
Mustaqil yechish uchun topshiriqlar 
Kuchlanishlarning qiymatlalari quyidagicha berilgan (1-jadval). 
Quyidagilarni aniqlang: 
1.
Berilgan kuchlanishlar ishorasini hisobga olgan holda yo‘nalishlarini 
rasmda tasvirlang. 
2.
Bosh kuchlanishlarni aniqlang va to‘g‘iriligini tekshiring. 
3.
Bosh tekislik holatini (bu tekislik normali yo‘naltiruvchi kosinuslarini) 
aniqlang. 
4.
Rasmda normal va bosh tekisliklarni tasvirlang. 
1-jadval 
MPa
x

y

z

xy

yz

zx

1 
80 
60 
160 
100 
60 
80 
2 
100 
120 
80 
50 
100 
50 
3 
90 
90 
120 
60 
60 
100 
4 
-90 
-90 
-120 
80 
60 
100 
5 
100 
100 
100 
60 
80 
100 
6 
160 
80 
60 
100 
-90 
-60 
7 
100 
80 
120 
120 
50 
-50 
8 
100 
150 
50 
100 
50 
-100 
9 
150 
70 
80 
-90 
-80 
60 
10 
-140 
-60 
-100 
60 
100 
90 

---

25 
11 
150 
90 
60 
100 
-50 
-50 
12 
130 
100 
70 
90 
100 
90 
13 
-70 
-130 
-100 
120 
60 
90 
14 
40 
30 
80 
50 
30 
40 
15 
50 
60 
40 
25 
50 
25 
16 
45 
45 
60 
30 
30 
50 
17 
-45 
-45 
-60 
40 
30 
50 
18 
50 
50 
50 
30 
40 
50 
19 
80 
40 
30 
50 
-45 
-30 
20 
50 
40 
60 
60 
25 
-25 
21 
50 
80 
30 
50 
30 
-50 
22 
100 
50 
60 
-70 
-100 
40 
23 
-150 
-70 
-80 
60 
90 
90 
24 
100 
80 
70 
90 
-50 
-50 
25 
150 
100 
80 
90 
100 
100