Кучланиш ва дифференциаллар

4 .2 . K u c h la n is h f u n k s iy a s i (E r i f u n ks i y a s i)
Elastiklik nazariyasi tekis masalalari uchun asosiy munosabatlar 
quyidagicha bo‘ladi: 
Koshi munosabatlari, 
;
x
u
x




;
y
v
y




x
v
y
u
xy







; (4.1) 
deformasiyalarning uzviylik tenglamalari: 
0
2
2
2
2
2










y
x
x
y
xy
y
x



. (4.2) 
Kuchlanish va deformasiyalar orasidagi bog‘lanish umumlashgan Guk 
qonuniga ko‘ra 
)
(
1
y
x
x
E





;
)
(
1
x
y
y
E





;




xy
xy
E
)
1
(
2


, (4.3) 
bu yerda 
E
– elastiklik moduli, 

- Puasson koeffitsiyenti. (4.3) ifodalarni 
(4.2) tenglamaga qo‘ysak, quyidagiga kelamiz: 
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2




























y
x
x
y
y
x
x
y
xy
x
x
xy
y
x







. (4.4) 
Muvozanat differensial tenglamasi
0







X
y
x
xy
x


;
0
2







Y
x
y
xy
y


, (4.5) 
bu yerda 
X
va 
Y
– hajmiy kuchlar. 

---

32 
Hajmiy kuchlar 
0


Y
X
desak, (4.5) tenglamani qanoatlantaruvchi 
kuchlanish funksiyasi 

ni kiritamiz. 
;
2
2
y
x





;
2
2
x
y





;
2
y
x
xy







(4.6) 
(4.6)ni (4.4) ga qo‘ysak, quyidagiga kelamiz : 
0
2
4
4
2
2
4
4
4










y
y
x
x



(4.7) 
yoki
0
2
2




, (4.8) 
bu yerda 
2
2


- bigarmonik operator: 
4
4
2
2
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
y
x
x
y
x
y
x



































. (4.9) 
Chegaraviy shartlar esa quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi: 
.
;


yx
y
xy
x
m
Y
m
X










(4.10) 
(4.8) tenglamani yechib, (4.6) formuladan kuchlanishlarni, Guk qonuni 
(4.3) ga ko‘ra deformasiyalarni topish mumkin. (4.1) ni integrallab, (4.10) 
chegaraviy shartlarni hisobga olib, ko‘chishlar topiladi. 
 
4.3. Mustaqil ish №2. Elastiklik nazariyasi tekis masalasini 
kuchlanishlar funksiyasi yordamida yechish 
 
Topshiriqni bajarish tartibi 
Masala
. To‘g‘ri to‘rtburchak shaklda birlik qalinlikdagi plastinka 
berilgan (4.3-rasm), 
)
,
(
y
x

kuchlanish funksiyasi 4.1-jadvalda va uning 
parametrlari qiymatlari 4.2-jadvalda keltirilgan. Hajmiy kuchlar hisobga 
olinmaganda quyidagilarni toping: 
1. Berilgan funksiyani tekis masala yechimi bo‘lishini tekshiring. 
2. Berilgan funksiya yordamida kuchlanishlar ifodasini toping. 

---

33 
3. Kuchlanishlar epyurasini quyidagi hollar uchun quring: a) 
x
normalli 
kesimda 
yx
x


,
kuchlanishlarni; b) 
y
normalli kesimda –
xy
y


,
kuchlanishlarni (
x 
va 
y 
larning qiymatlari 4.2-jadvalda berilgan). 
4.


Y
X
,
sirt kuchlarini plastinka hamma tomonlari uchun aniqlang, 
kuchlar yo‘nalishlari bo‘yicha sirt kuchlarining epuyralarini quring. 
4.3-rasm 
4.1-jadval 
№ 
Funksiya 

(
x
,
y
)
1 
2 
1 
3
2
4
4
)
(
xy
y
bx
y
x
a





2 
xy
y
bx
y
x
ax




2
2
2
)
(

3 
xy
bxy
y
x
ay




2
2
2
)
(

4 









3
4
2
2
3
x
y
x
b
axy

5 
xy
xy
y
bx
ax




2
2
3

6 











3
)
(
2
2
2
2
4
4
y
x
by
by
y
x
a

7 
y
x
bxy
x
y
a
2
3
4
4
)
(





8 


)
(
3
1
12
2
2
4
4
y
bx
xy
y
x
a





9 
4
2
2
3
6
1
2
1
3
1
by
y
bx
y
x





---

34 
10 
4
2
2
3
6
1
2
1
3
1
bx
y
bx
axy




11 
3
2
2
4
3
bxy
y
ax
ax




12 
4
2
2
3
3
by
y
bx
y
ax




13 
4
2
2
4
)
(
3
by
y
x
b
a
ax





14 
bxy
y
x
axy




3
3
3

15 









4
2
2
3
3
1
y
y
x
b
y
ax

16 
3
2
3
3
)
(
xy
y
bx
y
x
a





17 
xy
y
bx
y
x
ax




2
2
)
(

18 
2
2
2
2
)
(
xy
bxy
y
x
ay





19 









3
3
2
2
3
у
x
y
x
b
axy

20 
xy
xy
y
bx
ax
2
4
2
2
3





21 











3
)
(
2
2
2
2
3
y
x
by
by
y
x
a

22 
xy
y
x
bxy
x
y
a





2
3
4
4
)
(

23 


2
2
2
4
4
)
(
3
1
12
xy
y
bx
xy
y
x
a






24 
2
4
2
2
3
3
6
1
2
1
3
1
x
by
y
bx
y
x





25 
xy
y
bx
axy
4
2
1
3
1
2
2
3




4.2-jadval 
Variant 
oxirgi 
raqami 
Parametrlar 
a 
b 
l 
h 
x 
y 
1 
1 
1 
5 
1 
1 
0.2 
2 
2 
1 
6 
1 
2 
0.3 

---

35 
3 
2 
1 
5 
2 
2 
0.4 
4 
1 
2 
6 
1 
2 
0.3 
5 
1 
2 
6 
2 
2 
0.5 
6 
2 
2 
4 
2 
1 
0.5 
7 
2 
1 
4 
2 
1 
0.5 
8 
2 
1 
6 
1 
3 
0.3 
9 
1 
2 
5 
1 
2 
0.2 
10 
2 
1 
5 
2 
2 
0.4 
 
Topshiriqni bajarish namunasi 
B e r ilg an la r :
2
3
3
)
,
(
bx
bxy
y
ax
y
x





;
a
=1, 
b
=2, 
h
=2, 

=5,
x
=1, 
y
=0,2. 
Berilgan son qiymatlar bo‘yicha
2
3
3
2
2
)
,
(
x
xy
y
x
y
x





1. Berilgan 
)
,
(
y
x

funksiyaning tekis masala uchun bigarmonik 
tenglamani qanoatlantirishini tekshiramiz. Hosilalarni quyidagicha 
hisoblaymiz: 
.
0
;
6
;
6
3
;
0
;
12
;
12
;
6
;
0
;
6
;
4
6
;
4
2
3
2
2
4
2
3
2
2
2
4
4
3
3
2
2
2
3
4
4
3
3
2
2
3
2















































y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
xy
y
xy
x
y
x
y
x
xy
x
x
y
y
x
x











Topilgan to‘rtinchi tartibli hosilalarni tekis masala uchun o‘rinli 
bigarmonik tenglama (4.7) ga qo‘yamiz: 
0
0
0
2
0




. 
Berilgan 
2
3
3
2
2
)
,
(
x
xy
y
x
y
x





funksiya tekis masala yechimi 
bo‘ladi. 
2. Kuchlanishlarni aniqlaymiz. Shartga ko‘ra: 
X
=0; 
Y
=0. 

---

36 
;
4
6
;
12
2
2
2
2










xy
x
xy
y
y
x




.
6
3
)
6
3
(
2
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x
xy













3. Kuchlanishlar epyuralarini quramiz . 
a) 
x
=1 kesim uchun. 
y
x



1
12

(to‘g‘ri chiziq tenglamasi). 
1


y
bo‘lganada 
12


x

.
2
2
2
6
3
6
)
1
(
3
y
y
yx






, (kvadratik parabola tenglamasi). 
0

y
bo‘lganda
;
3

yx

1


y
bo‘lganda
3


yx

0

yx

hol uchun 
y 
ni qiymatini topamiz:
.
707
.
0
316
.
0
6
3
2
,
1
2






y
y
b) 
y
=0,2 kesimda. 
4
2
,
1
4
2
,
0
6







x
x
y

(to‘g‘ri chiziq). 
;
4
,
0


y
x

va
.
2
4
5
2
,
1
,
5







y
x

24
,
0
3
)
2
,
0
(
6
3
2
2
2




x
x
xy

(kvadratik parobola).
;
24
,
0
,
0



xy
x

va
.
76
,
74
24
,
0
)
5
(
3
,
5
2





xy
x

0

xy

hol uchun x ni qiymanini topamiz:
.
283
,
0
3
24
,
0
;
0
24
,
0
3
2
,
1
2






x
x
Aniqlangan holatlar asosida kuchlanishlar epyuralarini quramiz: 
4. 


Y
X
,
sirt kuchlarini plastinka hamma tomonlari uchun 
aniqlaymiz va epuyralarini quramiz. 
 Chap tomonda
.
Tenglamasi: 
x
=0.

tashqi normalni koordinata o‘qlari bilan hosil 
qilgan burchaklarini koordinata o‘qlari musbat yo‘nalishi bilan soat 
strelkasiga qarama-qarshi yo‘nalishda burilgan holda hisoblaymiz. 
.
0
)
270
cos(
)
,
cos(
;
1
)
180
cos(
)
,
cos(












y
m
x
,
0
0
)
1
(
0
12










xy
xy
x
y
m
X





bu tomonda 
x
oqiga 
parallel kuch yo‘q. 

---

37 
,
6
)
1
)(
6
0
3
(
0
2
2
y
y
m
Y
y
xy
y














(parabola). 
;
6
,
1




Y
y
;
5
,
1
,
5
,
0




Y
y
va 
.
0
,
0



Y
y
4.4-rasm. Kuchlanishlar epyurasi. 
O‘ng tomonda: 
.
0
)
90
cos(
;
1
)
0
cos(
;
5








m
x
,
60
0
5
12
y
y
X
xy







( to‘g‘ri chiziq). 
;
60
,
1




X
y
.
6
75
)
6
5
3
(
0
2
2
2
y
y
Y
y









;
75
,
0



Y
y
va
.
69
)
1
(
6
75
,
1
2







Y
y