Kurs: 2 Qrup: 722a Tələbə

Nəticə. (1.20) münasibətindən belə bir asimptotik düs­tur alınır:
(1.24)
Qeyd. ___________________________________________ funk­si­ya­sının qiymətlər cəd­­və­­­li var­dır və bu cəd­­vəl dərs­­liyin axı­rın­da ve­ri­lir.


Bu funk­siya­nın qrafiki Qauss əy­ri­si ad­­lanır. n sonsuz art­dıqda -lar Qauss əy­­risinin ordi­natlarına ya­xınlaşır.

Muavr-Laplasın inteqral teoremi

Tutaq ki, asılı olmayan ardıcıl n sayda sınaq zamanı hadisəsinin baş verməsi ehtimalı sabit p-dir və şərti ödənilir. Onda hadisəsinin n sınaq zamanı baş verməsi sayı olarsa ( ədədi hadisəsinin baş verməsi tezliyi adlanır), onda ehtimallarını hesablamaq üçün asimp­totik düsturu Muavr-Laplasın inteqral limit teoremindən almaq olar.

Teorem. Əgər asılı olmayan n sınaq zamanı hadisəsi sabit p ehtimalla ( ) dəfə baş verərsə, onda ehtimalı -dıqda in­teq­­ra­lına və ədədlərinə nəzərən mün­­­təzəm yığılır, yəni
(1.25)
İsbatı. Əvvəlcə fərz edək ki, və üçün şərtləri ödənilir. Onda müna­si­bətindən alınar. Əgər x ədə­din­dən kiçik olmayan ən kiçik tam ədədi kimi işarə etsək, onda olar və x ədədindən böyük olmayan ən böyük tam ədədi kimi işarə etsək, onda olar.
Tutaq ki, . Onda
(1.26)
yaza bilərik.
Əgər işarə etsək, onda ol­du­ğundan alarıq və Muavr-Lap­la­sın lokal limit teoreminə görə (1.26) münasibətini aşağıdakı kimi yaza bilərik:

burada birinci toplanan inteqral cəmidir və olduqda və -lərə nəzərən müntəzəm ola­­raq inteqralına yığılır, ikinci toplanan isə sonlu sayda sonsuz kiçilənlərin cəmi sonsuz kiçilən olduğundan, deməli, sıfra yaxınlaşır. Beləliklə, və şərtlərində (1.25) münasibətinin doğruluğu isbat olundu.

İndi isə və üçün , məhdudiyyət şərtlərini götürək.
işarə edək. Onda hadisə­ləri tam qrup təşkil etdiyindən
(1.27)
yaza bilərik.
Digər tərəfdən, riyazi analiz kursundan məlumdur ki,
,
ona görə də
. (1.28)
(1.27) və (1.28) münasibətlərini tərəf-tərəfə çıxıb alınan fərqləri mütləq qiymətcə götürsək, onda
(1.29)
yaza bilərik.
Tutaq ki, verilir. Onda elə c tapmaq olar ki,
. (1.30)
İsbat etdik ki, elə var ki, şərtini ödəyən bütün -lər üçün
,
onda (1.29) və (1.30) münasibətlərindən
(1.31)
alınır.
İndi isə ixtiyari parçasını götürək və işarə edək. Buradan oldu­ğun­­­dan istənilən üçün isbat etdik ki,
(1.32)
olar.
Beləliklə, (1.30) – (1.32) münasibətlərinə görə istənilən üçün

yəni

doğrudur. Bu isə ehtimallarının və -lərə nəzərən -dıqda inteqralına mün­təzəm yığıldığı deməkdir. Bununla da teorem isbat olundu.
(1.25) münasibətindən təqribi (asimptotik) belə bir düstur alırıq:
(1.33)
Aşağıdakı inteqrala
(1.34)