Kurs: 2 Qrup: 722a Tələbə


Laplasın lokal və inteqral teoremləri



Yüklə 0,81 Mb.
səhifə10/13
tarix09.12.2022
ölçüsü0,81 Mb.
#73407
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13
səbuhi ehtimal

9 . Laplasın lokal və inteqral teoremləri
İlk baxışdan sadə görünən Bernulli düsturu

sınaqların sayı n k ədədləri kifayət qədər böyük olduqda uzun-uzadı hesablamalara gətirib çıxarır. Ona görə də bu düsturu əvəz edəcək, müəyyən dəqiqliklə hesablanmanı verəcək təqribi (asimptotik) düsturların axtarılması zərurəti ortaya çıxır. Belə asimptotik düsturları Muavr-Laplasın lokal limit teoremindən və Puasson teoremindən almaq olur.
Teorem (Muavr-Laplas). Əgər asılı olmayan sınaqlar zamanı hər hansı hadisəsinin baş verməsi ehtimalı p sabitdirsə və 0 < p <1 -dirsə, onda hadisəsinin n sınaq zamanı k dəfə baş verməsi ehtimalı üçün
(1.20)
doğrudur, burada və x müəyyən sonlu parçada də­yiş­dikdə bütün qiymətlərində (1.20) yığılması müntəzəmdir.
İsbatı. Teoremin isbatından əvvəl onun şərtlərinə bir sıra aydınlıqlar gətirək. Teoremin lokal adlanması o deməkdir ki, ehtimalları k-dan asılı funksiya kimi n kifayət qədər böyük olduqda onun lokal (yerli, yəni, k-nın ayrı-ayrı qiymətlərində) təbiəti öyrənilir.
(1.20) münasibətinin müntəzəm ödənilməsi isə o deməkdir ki, istənilən sonlu parçasında olduqda və istənilən üçün elə var ki, şərtini ödəyən bütün n-lər üçün

şərti ödənilir.
İndi teoremin isbatını verək.
Riyazi analiz kursundan faktorial üçün Stirlinq düsturu adlanan belə bir düstur məlumdur:
,
burada qalığı üçün şərti ödənilir.
Stirlinq düsturunu ehtimalının ifadəsinə tətbiq edək:
(1.21)
burada .
Digər tərəfdən,
ifadəsindən və alırıq.
Əgər -dirsə, onda

bərabərsizliklərindən alınır ki, kn – k kəmiyyətlərinin bü­tün qiymətlərində qalıq üçün

qiymətləndirilməsi doğrudur. Bu isə o deməkdir ki, olduqda, və (1.21) münasibətində olar.
(1.21) bərabərliyində belə bir işarələmə aparaq:
.
Bu ifadənin hər tərəfini loqarifmləsək və alınan ifadədə yazsaq, onda

Aydındır ki, məhdud olduqda və kə­miy­yət­ləri olduqda sıfra yaxınlaşır və deməli, sonsuz ki­çi­ləndir. Ona görə də və funksi­ya­la­rı­nı qüvvət sıralarına ayırarkən birinci iki hədlə kifayət­lən­mək olar, yəni

Bunları -nin ifadəsində nəzərə alsaq, onda

Beləliklə, şərtində olduqda
(1.22)
alırıq.
Digər tərəfdən, (1.21) münasibətində olduqda

ifadəsində
(1.23)
olar.
(1.21), (1.22) və (1.23) münasibətlərindən

alınır. Bu isə teoremin isbatıdır.

Yüklə 0,81 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin