Kurs: 2 Qrup: 722a Tələbə

9 . Laplasın lokal və inteqral teoremləri
İlk baxışdan sadə görünən Bernulli düsturu

sınaqların sayı n və k ədədləri kifayət qədər böyük olduqda uzun-uzadı hesablamalara gətirib çıxarır. Ona görə də bu düsturu əvəz edəcək, müəyyən dəqiqliklə hesablanmanı verəcək təqribi (asimptotik) düsturların axtarılması zərurəti ortaya çıxır. Belə asimptotik düsturları Muavr-Laplasın lokal limit teoremindən və Puasson teoremindən almaq olur.
Teorem (Muavr-Laplas). Əgər asılı olmayan sınaqlar zamanı hər hansı hadisəsinin baş verməsi ehtimalı p sabitdirsə və 0 < p <1 -dirsə, onda hadisəsinin n sınaq zamanı k dəfə baş verməsi ehtimalı üçün
(1.20)
doğrudur, burada və x müəyyən sonlu parçada də­yiş­dikdə bütün qiymətlərində (1.20) yığılması müntəzəmdir.
İsbatı. Teoremin isbatından əvvəl onun şərtlərinə bir sıra aydınlıqlar gətirək. Teoremin lokal adlanması o deməkdir ki, ehtimalları k-dan asılı funksiya kimi n kifayət qədər böyük olduqda onun lokal (yerli, yəni, k-nın ayrı-ayrı qiymətlərində) təbiəti öyrənilir.
(1.20) münasibətinin müntəzəm ödənilməsi isə o deməkdir ki, istənilən sonlu parçasında olduqda və istənilən üçün elə var ki, şərtini ödəyən bütün n-lər üçün

şərti ödənilir.
İndi teoremin isbatını verək.
Riyazi analiz kursundan faktorial üçün Stirlinq düsturu adlanan belə bir düstur məlumdur:
,
burada qalığı üçün şərti ödənilir.
Stirlinq düsturunu ehtimalının ifadəsinə tətbiq edək:
(1.21)
burada .
Digər tərəfdən,
ifadəsindən və alırıq.
Əgər -dirsə, onda

bərabərsizliklərindən alınır ki, k və n – k kəmiyyətlərinin bü­tün qiymətlərində qalıq üçün

qiymətləndirilməsi doğrudur. Bu isə o deməkdir ki, olduqda, və (1.21) münasibətində olar.
(1.21) bərabərliyində belə bir işarələmə aparaq:
.
Bu ifadənin hər tərəfini loqarifmləsək və alınan ifadədə yazsaq, onda

Aydındır ki, məhdud olduqda və kə­miy­yət­ləri olduqda sıfra yaxınlaşır və deməli, sonsuz ki­çi­ləndir. Ona görə də və funksi­ya­la­rı­nı qüvvət sıralarına ayırarkən birinci iki hədlə kifayət­lən­mək olar, yəni

Bunları -nin ifadəsində nəzərə alsaq, onda

Beləliklə, şərtində olduqda
(1.22)
alırıq.
Digər tərəfdən, (1.21) münasibətində olduqda

ifadəsində
(1.23)
olar.
(1.21), (1.22) və (1.23) münasibətlərindən

alınır. Bu isə teoremin isbatıdır.