Kurs: 2 Qrup: 722a Tələbə

Laplas inteqralı deyilir. funksiyası tək funksiyadır, yəni
(1.35)
şərti ödənilir. Bu isə o deməkdir ki, x dəyişəninin müsbət qiymətləri məlum olduqda funksiyasının mənfi x-lərdəki qiymətlərini (1.35) münasibətinin köməyi ilə tapmaq olar. Əlavə qeyd edək ki, funksiyasının qiymətlər cədvəli vardır.
Laplas funksiyasının köməyi ilə (1.33) münasibətini belə də yazmaq olar:

Beləliklə,
. (1.36)
Misal. Tutaq ki, olduq­da ehtimalını hesablamaq lazımdır. Onda işarə etsək:


olduğundan
funksiyasının qiymətlər cədvəlindən ol­duq­da olduğunu tapırıq və alırıq. Bu ehtimalı Bernulli düsturu ilə də hesab­lasaydıq onun daha dəqiq qiymətini almış olardıq. Ona görə də ehtimalının təqribi (1.36) düsturunda
, (1.37)
burada

götürsək, onda ehtimallarının qiymətlərində vergüldən sonra iki-üç rəqəmi daha dəqiqliklə alarıq.
Məsələn, ehtimalını (1.37) düsturu ilə he­sablasaq, onda alınır və onun dəqiq 0.9648 qiymətindən 0.0005 qədər fərqləndiyini görürük.

10 . Diskret kəsilməz kəmiyyətin emprik pay­lan­ması

Təsadüfi x kəmiyyətinin əlamətini müşahidə və ya təc­rübə zamanı öyrənərkən onun paylanmasını xarakterizə edən paylanma funksiyası məlum olmur. Bu funksiyanı seç­mənin köməyilə təyin etmək lazım gəlir.

Tutaq ki, n həcmli x­­­­­­­­­­­­­­­­₁, x₂,…,x_n seçməsinə baxılır və müşahidə zamanı x­­­­­­­­­­­­­­­­_i variantının tezliyi, yəni x­­­­­­­­­­­­­­­­_i qiyməti müşahidə zamanı n­­­­­­­­­­­­­­­­_i dəfə müşahidə olunur, x­­­­­­­­­­­­­­­­ isə qeyd olunmuş hər hansı ədəddir. Belə fərz edək ki, x­­­­­­­­­­­­­­­­ şərtini ödəyən x­­­­­­­­­­­­­­­­_i variantlarının sayını ­­­­­­­­­­­­n_x ilə işarə etmişik. Onda ədədi x­­­­­­­­­­­­­­­­ nöqtəsindən solda yerləşən x­­­­­­­­­­­­­­­­_i variantlarının nisbi tezliyi olar, burada ,

funksiyasına x­­­­­­­­­­­­­­­­ kəmiyyətinin verilən x­­­­­­­­­­­­­­­­₁, x₂,…,x_n seçməsinə görə təyin olunan empirik paylanma funksiyası deyilir. Ehtimal nəzəriyyəsində təsadüfi x­­­­­­­­­­­­­­­­ kəmiyyətinin ­­­­­­­­­­­­­­F(x) paylanma funksiyasının malik olduğu xassələr empirik funksiyası üçün də doğrudur. Başqa sözlə, aşağıdakı xassələri söyləmək olar:
Xassə 1. .
Xassə 2. Empirik funksiyası azalmayandır.
Xassə 3. Əgər ən kiçik, ən böyük variantdırsa, onda şərtində , şərtində isə .
Misal 1. Verilən seçməyə görə empirik paylanma funksiyasını qurun:

x­­­­­­­­­­­­­­­­	1	4	6
n­­­­­­­­­­­­­­­­i	10	15	25

Həlli. Seçmənin həcmini tapaq: N = 10 + 15 + 25 = 50.
Ən kiçik variant -dir, ona görə olduqda .
olduqda qiyməti 10 dəfə müşahidə olu­nub, deməli, , yəni şərti ödənilir.
olduqda və qiymətləri 10 + 15 = 25 dəfə müşahidə olunub, bu isə o deməkdir ki, şərti ödənilir və .
Nəhayət, şərti o deməkdir ki, .
Beləliklə, empirik funksiyasını təyin etdik:


Qrafikdən görün­dü­yü kimi empirik funk­­siya­nın əyrisi pil­lə­vari­dir. Sıçrayışlar mü­şa­hi­də olunan variant­lara uy­ğundur və onun qiy­mə­ti variantın nisbi tez­li­yidir.
Bəzən empirik funk­­siyanı analitik də vermək olur. Bu halda funksiyası belə təyin olunur:

Burada ən böyük varinatla üst-üstə düşür. tezliyi yığılmış (toplanmış) tezlikdir.
Əgər müşahidələrin nəticələri interval variantının sırası şəklindədirsə, onda intervalların uclarına uyğun əyri nöqtə­lərini düz xətt parçaları ilə birləşdirmək məqsədəuyğun olar. Belə olduqda funksiyasının əyrisi kəsilməz əyriyə çevrilir və bu əyrini kumulyativ (ingiliscə – yığılma) əyri adlandırırlar.
Qeyd edək ki, nəzəri paylanma funksiyası üçün

və Böyük ədədlər qanununa görə .
Empirik funksiyanı yuxarıdakı üsulla tapmaq tətbiqi məsə­lə­lərdə bir o qədər də əlverişli deyildir.
Bir çox hallarda paylanma funksiyasının hansı sinfə mən­sub olduğu məlum olmur və onun asılı olduğu parametr­lə­ri tə­yin etməklə bu funksiya haqqında təqribi də olsa təsəvvür yaratmaq zərurəti ortaya çıxır. Buna görə də statistik üsulla əldə edilən seçməyə görə həmin parametrlərin təqribi qiymət­lərini təyin edək.
Tutaq ki, təsadüfi kəmiyyətinin müşahidə nəticəsində əldə edilən qiymətləri (baş yığımdan təsadüfən götürülmüq seçmə)

təsadüfi ədədləridir və funksiyası bu seçmənin empirik paylanma funksiyasıdır. Bu funksiyanın nəzəri fərz olunan funsiyasından meylinin mənfi olmayan qiymətini ilə işarə edək:

kəmiyyətini müxtəlif şəkillərdə təyin etmək olar və deməli, bizi maraqlandıran hipotezi yoxlamaq üçün müxtəlif kriterilər almaq olar.
İrəli sürülən hipotezin doğruluğu çərçivəsində seçməni təşkil edən -lərdən hər birisinə biri-birindən asılı olamyan, lakin eyni bir qanunu ilə paylanan təsadüfi kəmiy­yət­lər kimi baxmaq olar. Belə olduqda kəmiyyəti kəmiyyətlərindən asılı olan təsadüfi kəmiy­yətdir.
kəmiyyətinin paylanması sayından asılıdır. sayı sonlu və kiçik olduqda kəmiyyətinin hesab­lanması məqsədəuyğun deyildir. Lakin , yəni sonsuz artdıqda kəmiyyətinin paylanmasının yaxınlaşmasından istifadə etmək məqsədəuyğundur.
Qeyd edək ki, əgər hipotez kimi irəli sürülən nəzəri paylanma seçməyə görə təyin olunacaq para­metrlərindən asılıdırsa, yəni , onda yenə də meylini parametrlərindən asılı təsadüfi kəmiyyətlərin mürəkkəb funksiyası kimi təyin etmək olar, çünki bu kəmiyyətlərdən hər birisi seçmədən asılı kəmiyyətlər kimi qiymətləndirilir.
kəmiyyətinin qiymətləndirilməsi hələ XX əsrin əvvəllərində K.Pirson tərəfindən aparılmışdır.
Tutaq ki, təsadüfi kəmiyyətinin ala biləcəyi qiymətləri (seçmənin ala biləcəyi ədədləri) ortaq nöqtələri olmayan altçoxluqlarına (diskret variantlar sırası sayda qruplara) ayrılıb.
Praktiki olaraq belə bölgünü -sayda

ədədlərinin köməyilə aparmaq olar. Bu halda hər bir intervalın sağ ucu çoxluğuna daxil olmur, lakin sol uc intervala daxil edilir:

Tutaq ki, təsadüfi kəmiyyətinin ala biləcəyi qiymətinin çoxluğuna düşməsi ehtimalı -dir, . Aydındır ki, . Tutaq ki, çoxluğuna düşən -lərin sayı uyğun olaraq -lərdir. Onda müşahidə zamanı çoxluğuna düşən -lərin nisbi tezlikləri olar və

.
bölgülərinə uyğun nəzəri ehtimallarının uyğun empirik tezlik­lə­rin­dən meylləri olaraq hipotezin statistik xarak­te­ristikasını K.Pirson belə qiymətləndirir:
(2.40)
Pirson göstərmiişdir ki, hipotezinin şərtləri daxi­lində təsadüfi kəmiyyətinin paylanması -dıqda ehtimal sıxlıq funksiyası
(2.41)
şəklində olan paylanmaya yaxınlaşır, burada sabiti normallaşdırıcı vuruqdur. Bu paylanma sərbəstlik dərəcəsi olan ( -kvadrat) paylanma adlanır.
Nəzəri və seçmə paylanma ( hipotezi) belə qurulur. Tutaq ki, ədədi sərbəstlik dərəcəsi olan kəmiyyətinin faiz qiymətidir (burada ədədi kvantildir). Onda böyük olduqda
(2.42)
olar. ədədini elə kiçik götürmək olar ki, bir sınaq zamanı ehtimalı olan hadisə baş verməsin.
Əgər nəzərə alsaq ki, (2.40) kəmiyyətinin qiyməti üçün (2.42) şərti ödənilir, onda hipotezi rədd olunmalıdır. Əgər nəzərə alsaq ki, şərti ödənilir, onda hipotezi qəbul olunur, çünki alınan nəticə hipotezi ilə uzlaşır.
Təcrübə göstərir ki, yuxarıdakı mühakiməni aparmaq üçün nəinki ədədi kifayət qədər böyük olmalıdır, eləcə də bütün intervallarda nəzəri tezlikləri üçün , şərtləri ödənilməlidir. Əgər bəzi intervallarda alınarsa, onda bu intervalları birləşdirmək lazımdır ki, heç olmazsa alınsın.
Yuxarıda dediklərimizi aydın dərk etmək üçün baş yığımın normal paylanması haqqında irəli sürülən hipotezin Pirson uzlaşma kriterisi ilə yaxınlaşması qaydasını verək.
Bunun üçün iki hala baxaq.