Kurs: 2 Qrup: 722a Tələbə

Kəsilməzlik aksiomu. Əgər hadisələr ardıcıllığı azalandırsa, yəni və , onda
.
Bu aksiomu genişlənmiş toplama aksiomundan, yəni aksiom 4.1.-dən nəticə kimi alaq.
Qeyd edək ki, birgə olmayan hadisələrdir və onların cəmi (birləşməsi) hadisəsidir. Onda genişlənmiş toplama aksiomu 4.1-ə görə

Bərabərliyin sağ tərəfindəki sıra –yə yığıldığından, bu ədədi onun n-ci xüsusi cəminin limiti kimi yaza bilərik, yəni
.
Digər tərəfdən,

olduğunu nəzərə alsaq, onda

alınır və olduğunu bilə­rək, nəticədə belə bir limitin doğruluğunu

isbat etmiş oluruq.
Qeyd. Əgər hadisələr ardıcıllığı artandırsa, yəni istə­ni­lən üçün və , onda
.
Doğrudan da,
,
buradan da

çünki
.
Bir daha qeyd edək ki, burada cəmləmə işarəsi birləşmə, çıxma isə fərq mənasında başa düşülür.
Qeyd. Kolmoqorovun aksiomlar sistemi ziddiyyət­siz­dir, yəni elə real obyektlər vardır ki, bu aksiomlar onlar üçün ödənilir. Məsələn, tutaq ki, sonlu çoxluqdur, G isə bu çoxluğun altçoxluğudur. Əgər hər bir elementi üçün
, burada
və , onda altçoxluğu üçün tə­yin etməklə, bütün aksiomların ödənildiyini almış olarıq.
Kolmoqorovun aksiomlar sistemi tam deyildir. Çünki eyni bir U çoxluğunun G altçoxluqlar sistemində ehtimal anla­yı­şı­nı müxtəlif formalarda təyin etməklə müxtəlif uyğun ak­siom­lar sistemi vermək olar. Belə müxtəliflik təsadüfi hadisələrin xarakterik cəhətləri ilə bağlıdır.


7 . Təkrar sınaqlar. Bernulli düsturu

Tutaq ki, müəyyən kompleks şərtlər daxilində ardıcıl sınaqlar aparılır. Əgər hər hansı bir sınağın nəticəsi digər sınağın nəticəsinə təsir etmirsə, onda ardıcıl aparılan belə sınaqlar asılı olmayan sınaqlar adlanır.

Aparılan asılı olmayan hər sınağın nəticəsi «uğurlu» və ya «uğursuz» ola bilər, yəni gözlənilən təsadüfi hadisəsi baş verə, yaxud baş verməyə bilər. Asılı olmayan sınağın iki nəticəsindən («uğurlu» və «uğursuz») birinin baş verməsi halına Y.Bernulli baxmışdır və onu Bernulli sxemi adlandırırlar.
Tutaq ki, n sayda asılı olmayan sınaq aparılır və hər hansı sınaqda hadisəsinin baş verməsi ehtimalı sabit p-dir, baş verməməsi ehtimalı isə q = 1-p ədədinə bərabərdir.
n asılı olmayan təkrar sınaqlar zamanı hadisəsinin m dəfə baş verməsi ehtimalını ilə işarə edək və bu ehtimalı tapaq.
Sadəlik üçün tutaq ki, n=3 və m=2. Ardıcıl aparılan 3 sınağın mümkün olan nəticələrini yazaq:
. (1.12)
Bu ardıcıllıqlardan göründüyü kimi 3 sınaq zamanı hadisəsi m=2 dəfə (onların altından xətt çəkilib) baş verir: . Belə ardıcıllıqların sayı kimi təyin olunur. Digər tərəfdən, sınaqlar deməli, hadisələr asılı olmadığından ehtimalların vurulması teoreminə görə

Sınaqların nəticələri birgə olmayan hadisələr olduğundan toplama teoreminə görə

İndi isə konkret misalda apardığımız mülahizəni ümumiləşdirək.
Tutaq ki, asılı olmayan n ardıcıl sınaq aparılır və bu sınaqların nəticəsi hadisələr ardıcıllığıdır. Bu ardıcıllıqların m hissəsində hadisəsi baş verib, qalan n-m­ hissəsində isə olarsa, belə ardıcıllıqların sayı qədər olar.
Sınaqlar asılı olmadığından onların nəticələri–hadi­sələr də asılı deyildir və ehtimalların vurulması teoreminə görə belə ardıcıllığın ehtimalı ədədinə bərabər olar. Onda birgə olmayan hadisələrin ehtimalları haqqında teoremə görə m qədər -dan və n-m qədər -dən ibarət ardıcıllıqların ehtimalları cəmi
(1.13)
burada
Bu isə axtarılan ehtimaldır.
Qeyd edək ki, (1.13) ehtimalları üçün
.
Bu münasibətin doğruluğunu iki mülahizədən almaq olar. Birincisi, n ardıcıl asılı olmayan sınaqlar zamanı hadisələr ardıcıllıqları tam qrup təşkil edir və onlardan hər hansının baş verməsi yəqini hadisəsidir, deməli, .
İkincisi, axırıncı münasibətin doğruluğu
. (1.14)
Nyuton binomunun açılışından alınır. Yeri gəlmişkən, qeyd edək ki, (1.13) ehtimallarını funksi­ya­sı­nın –in qüvvətlərinə görə ayrılışının əmsalları kimi təyin etmək olar:
,
burada köməkçi dəyişəndir, olduqda (1.14) müna­si­bə­ti alınır.
funksiyasına əmsallarını (ehtimallarını) do­ğu­ran funksiya deyilir. (1.13) münasibəti ilə təyin olunan ehtimallarına binomial paylanma deyilir. Bu paylanma m=0,1,2,…n ədədləri ilə -lər arasında uyğunluq şəklində verilir.