Kurs: 2 Qrup: 722a Tələbə

8. Or­ta kvadratik meyl
Əgər dispersiyanın kvadrat kökü alınarsa, onda dispersiyanın bu formasına orta kvadratik meyl deyilir. Orta kvadratik meylin düsturları çəkilər eyni olduqda

çəkilər müxtəlif olduqda isə

formada yazılır.
Orta kvadratik meyl orta xətti meyl kimi variantın ifadə olunduğu ölçü vahidi ilə ifadə olunur.
Orta xətti meyl, dispersiya və orta kvadratik meyl ilə yanaşı əlamətin variasiyasına xarakteristika vermək üçün variasiya əmsalından da istifadə edilir.
Variasiya əmsalı orta kvadratik meyl ilə hesabı orta kəmiyyət arasındakı nisbəti göstərir və faizlə ifadə edilir.
Variasiya əmsalı v hərfi ilə işarə edilir və aşağıdakı düsturla hesablanır:

Dispersiya və orta kvadratik meylin hesablanması üçün aşağıdakı cədvəli tərtib edək.

I rayon			II rayon
Hektardan məhsuldarlıq, s	Orta kəmiyyətdən meyl	Meylin kvadratı	Hektardan məhsuldar lıq, s	Orta kəmiyyətdən meyl	Meylin kvadratı
		( )^2			( )^2
150	+38	1444	124	+12	144
140	+28	784	121	+9	81
129	+17	289	118	+6	36
125	+13	169	115	+3	9
113	+1	1	114	+2	4
108	-4	16	112	0	0
105	-7	49	110	-2	4
100	-12	144	106	-6	36
90	-22	484	101	-11	121
60	-52	2704	99	-13	169
Cəmi	-	6084	Cəmi	-	604

Orta kvadratik meyl:
birinci rayonda
= = =24,66 s;
ikinci rayonda
= = =7,77 s.
İndi də variasiya göstəricilərini variantların çəkiləri müxtəlif olan misal əsasında hesablayaq.

Məhsuldarlıq, Sentner	Əkin sahəsi, hektar	Ümumi yığım, sentner	Meyl	Meylin kvadratı	Meylin kvadratının öz çəkilərinə hasili
12	10	120	-5	25	250
14	70	980	-3	9	630
15	100	1500	-2	4	400
16	250	4000	-1	1	250
18	200	3600	+1	1	200
20	170	3400	+3	9	1530
Yekun	=800	= 13600	-	-	= 3260

Orta məhsuldarlıq: = = =17 s.

Dispersiya:

Orta kvadratik meyl:
s.
9. Təkrar sınaqlar. Bernulli düsturu
Tutaq ki, müəyyən kompleks şərtlər daxilində ardıcıl sınaqlar aparılır. Əgər hər hansı bir sınağın nəticəsi digər sınağın nəticəsinə təsir etmirsə, onda ardıcıl aparılan belə sınaqlar asılı olmayan sınaqlar adlanır.
Aparılan asılı olmayan hər sınağın nəticəsi «uğurlu» və ya «uğursuz» ola bilər, yəni gözlənilən təsadüfi hadisəsi baş verə, yaxud baş verməyə bilər. Asılı olmayan sınağın iki nəticəsindən («uğurlu» və «uğursuz») birinin baş verməsi halına Y.Bernulli baxmışdır və onu Bernulli sxemi adlandırırlar.
2. Bernulli düsturu. Tutaq ki, n sayda asılı olmayan sınaq aparılır və hər hansı sınaqda hadisəsinin baş verməsi ehtimalı sabit p-dir, baş verməməsi ehtimalı isə q = 1-p ədədinə bərabərdir.
n asılı olmayan təkrar sınaqlar zamanı hadisəsinin m dəfə baş verməsi ehtimalını ilə işarə edək və bu ehtimalı tapaq.
Sadəlik üçün tutaq ki, n=3 və m=2. Ardıcıl aparılan 3 sınağın mümkün olan nəticələrini yazaq:
. (1)
Bu ardıcıllıqlardan göründüyü kimi 3 sınaq zamanı hadisəsi m=2 dəfə (onların altından xətt çəkilib) baş verir: . Belə ardıcıllıqların sayı kimi təyin olunur. Digər tərəfdən, sınaqlar deməli, hadisələr asılı olmadığından ehtimalların vurulması teoreminə görə

Sınaqların nəticələri birgə olmayan hadisələr olduğundan toplama teoreminə görə

İndi isə konkret misalda apardığımız mülahizəni ümumiləşdirək.
Tutaq ki, asılı olmayan n ardıcıl sınaq aparılır və bu sınaqların nəticəsi hadisələr ardıcıllığıdır. Bu ardıcıllıqların m hissəsində hadisəsi baş verib, qalan n-m­ hissəsində isə olarsa, belə ardıcıllıqların sayı qədər olar.
Sınaqlar asılı olmadığından onların nəticələri–hadi­sələr də asılı deyildir və ehtimalların vurulması teoreminə görə belə ardıcıllığın ehtimalı ədədinə bərabər olar. Onda birgə olmayan hadisələrin ehtimalları haqqında teoremə görə m qədər -dan və n-m qədər -dən ibarət ardıcıllıqların ehtimalları cəmi

( = (2)

burada Bu isə axtarılan ehtimaldır.

Qeyd edək ki, (2) ehtimalları üçün
.
Bu münasibətin doğruluğunu iki mülahizədən almaq olar. Birincisi, n ardıcıl asılı olmayan sınaqlar zamanı hadisələr ardıcıllıqları tam qrup təşkil edir və onlardan hər hansının baş verməsi yəqini hadisəsidir, deməli, .
İkincisi, axırıncı münasibətin doğruluğu
. (3)
Nyuton binomunun açılışından alınır.
(2) münasibəti ilə təyin olunan ehtimallarına binomial paylanma deyilir. Bu paylanma m=0,1,2,…,n ədədləri ilə -lər arasında uyğunluq şəklində verilir.
Misal. n dəfə zər atıldıqda m dəfə 6 xalı olan üzün düşməsi ehtimalını tapın.
Həlli.
.
Bir çox praktiki məsələlərdə ardıcıl asılı olmayan sınaqlar zamanı hadisəsinin verilən k ədədindən kiçik (böyük) olmayan ədəd dəfə və yaxud heç olmazsa bir dəfə baş verməsi ehtimalını tapmaq lazım gəlir. Bu ehtimalları verək.
a) Tutaq ki, hadisəsinin k ədədindən az olmayan sayda baş verməsi hadisəsi n – (k – 1) sayda birgə olmayan hadisələrin birləşməsidir, yəni hadisəsi k dəfə, k+1 dəfə və s. n dəfə baş verməlidir.
Bu halda axtarılan ehtimalı kimi işarə etsək, onda
(4)
olar.(4) ehtimalını əks hadisənin ehtimalı kimi də hesablaya bilərik, yəni
(5)
Aydındır ki, (5) düsturu daha əlverişlidir.
b) Tutaq ki, n asılı olmayan ardıcıl sınaqlar zamanı hadisəsinin heç olmazsa bir dəfə baş verməsi ehtimalını hesablamaq lazımdır. Başqa sözlə, bir və bir dəfədən çox hadisəsinin baş verməsi ehtimalını hesablamaq lazımdır, yəni (5) düsturundan k = 1 olduqda
(6)
alınır, burada və olması o deməkdir ki, hadisəsi n sınaq zamanı baş vermir, yəni hər sınaqda -nın əksi olan hadisəsi baş verir. Deməli hadisələr ardıcıllığı alınır. Onda ehtimalların vurulması teoreminə görə

olar, yəni .


10. Ehtimalların vurulması qaydası


Ehtimalların vurulması teoremi. Şərti ehtimalın tərifindən ehtimalların vurulması haqqında təklif alırıq.
Teorem 3 (Ehtimalların vurulması teoremi). və hadisələrinin eyni zamanda baş verməsi ehtimalı bu hadisələrdən birinin ehtimalı ilə digərinin birinci baş verdikdə hesablanmış şərti ehtimalı hasilinə bərabərdir.


(3)
Qeyd 3. Vurma haqqında teorem hadisələrdən biri mümkün olmayan hadisə olduqda da doğrudur. Bu halda ehtimalı ilə yanaşı və olur.
Qeyd 4. Vurma haqqında teorem istənilən sayda hadisələr üçün də doğrudur. Məsələn, əgər hadisələri asılı hadisələrdirsə, onda on­ların eyni zamanda baş verməsi ehtimalı (3) münasibətinə görə

düsturu ilə verilir.
Misal 2. Birinci silahdan nişana dəymə ehtimalı 0.7, ikincidən isə 0.5 olarsa, hər iki silahdan atəş açıldıqda onların hər ikisinin nişana dəymə ehtimalını tapın.
Həlli: A-I silahdan, B- II silahdan nişana dəymə hadisələri olsun.Onda
P(AB) = P(A).P(B) = 0.35.
Əgər tam qrup təşkil edən sistemdirsə və bütün , onda istənilən hadisəsinin ehtimalı hipotezlərin ehtimallarının -nın hipotezlərə nəzərən uyğun şərti ehtimalları hasillərinin cəminə bərabərdir
İsbatı. Ehtimalların toplanması aksiomuna görə

Ehtimalların vurulması teoreminə görə isə olduğundan

bu ifadəni yuxarıdakı münasibətdə yerinə yazsaq, onda


. (1)

alarıq.(1) düsturuna tam ehtimal düsturu deyilir.

Misal 1. Ümumi məhsulun 25%-i maşınında, 35%-i b maşınında, 40%-i isə c maşınında istehsal olunur. Maşınlarda zay məhsulun istehsalı uyğun olaraq 5%, 4% və 2%-dir. Təsadüfən götürülmüş bir məhsulun zay olması ehtimalını tapın.
Həlli. Təsadüfən götürülən məhsulun zay olması hadisəsi , məhsulların ,b,c maşınlarında istehsal olunması hadisələri uyğun olaraq olsun. Bu hadisələr tam qrup təşkil edir və onların ehtimalları . hadisəsinin hipotezlərinə nəzə­rən şərti ehtimalları isə


.

Onda tam ehtimalın (1) düsturuna görə

olar.