1.1 Мавзу.Риманнинг дзета функциясининг таърифи ва асосий хоссалари. Риман (Георг Фридрих Бернгард Риман (1826-1866)-немис математиги) ўзининг 1860 йилда ёзган машҳур мемуарида (бу мемуар Риманнинг сонлар назарияси соҳасидаги ягона иши ҳисобланади) туб сонлар тақсимотини чуқур ўрганиш учун функцияни комплекс ўзгарувчи нинг функцияси сифатида ўрганиш зарур эканлигини уқтириб ўтган эди. Маълумки [5,6], Риманнинг дзета функцияси бўлганда
тенглик билан аниқланади. Унинг ҳақиқий ўқдаги нолларига тривиал ноллари дейилади. Қолган барча ноллари эса тривиал бўлмаган ноллари деб юритилади.
Риманнинг исботлаган икки асосий натижаси қуйидагидан иборат:
а) функцияни бутун комплекс текисликга аналитик давом эттириш мумкин;
б) ушбу функционал тенглама
ни қаноатлантиради. Бу ерда Эйлернинг гамма функцияси.
Бу функционал тенглама нинг даги хоссаларидан даги хоссаларини келтириб чиқариш имкониятини беради.
Бу таърифдан нинг ярим текисликда аналитик эканлиги келиб чиқади. Ҳақиқатан ҳам, (1.1) дан
эканлиги келиб чиқади. (1.2) нинг ўнг томонидаги қатор да яқинлашувчи, шунинг учун ҳам (1.1)-қатор да абсолют яқинлашувчи, да эса текис яқинлашувчи ва шунинг учун ҳам текис яқинлашувчи қаторнинг йиғиндиси сифатида аналитик функцияни ифодалайди. Бизнинг кейинги текширишларимизда қуйидаги лемма керак бўлади.
1.1-лемма. (Эйлер айнияти). бўлганда ушбу
айният ўринли.
Исботи. Натурал сонларни туб кўпайтувчиларга ажратишнинг ягоналиги ва да қатор
нинг абсолют яқинлашувчилигидан бутун сони учун қуйидагига эга бўламиз:
бу ерда
(1.3) да да лимитга ўтсак
тенгликга эга бўламиз.
Бу леммадан қуйидаги натижа келиб чиқади.
Натижа. Агар бўлса, у ҳолда бўлади.
Ҳақиқатан ҳам, агар бўлса, у ҳолда
Бундан ва да келиб чиқади.
Энди функцияни ярим текисликка давом эттирамиз. Бунинг учун бизга қуйидаги Эйлер-Маклорен формуласи керак бўлади:
“агар функция кесмадаги узлуксиз, дифференциалланувчи функция бўлса, ушбу тенглик ўринли
бунда эса нинг каср қисмини билдиради” (бу формуланинг исботи [5] нинг 1-бобида келтирилган ((2) -формулага қаранг)).
