Matematika-informatika fakulteti

Yig’indining hosilasi.
2-teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalarning xÎ(a,b)nuqtada hosilalari mavjud bo’lsa, u holda f(x)=u(x)+v(x) funksiyaning ham x nuqtada hosilasi mavjud va
f’(x)=u’(x)+v’(x) (1.6)
tenglik o’rinli bo’ladi.
Isboti. 1⁰. f(x)=u(x)+v(x).
2⁰. f(x+Dx)= u(x+Dx)+ v(x+Dx)= u(x)+Du+ v(x)+Dv.
3⁰. Dy= f(x+Dx)- f(x)= Du+Dv.
4⁰. .
5⁰. .
Shunday qilib, (1.6) tenglik o’rinli ekan. Isbot tugadi.
Misol.(x²+1/x)’=(x²)’+(1/x)’=2x-1/x².
Matematik induksiya metodidan foydalanib, quyidagi natijani isbotlash mumkin:
Natija. Agar u₁(x), u₂(x), ... ,u_n(x) funksiyalarning x nuqtada hosilalari mavjud bo’lsa, u holda f(x)= u₁(x)+ u₂(x+ ...+u_n(x) funksiyaning ham x nuqtada hosilasi mavjud va quyidagi formula o’rinli bo’ladi:
f’(x)=( u₁(x)+ u₂(x+ ...+u_n(x))’= u’₁(x)+ u’₂(x+ ...+u’_n(x) .
Ko’paytmaning hosilasi.
3-teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalar xÎ(a,b) nuqtada hosilaga ega bo’lsa, u holda ularning f(x)=u(x)×v(x) ko’paytmasi ham xÎ(a,b) nuqtada hosilaga ega va
f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x) (1.7)
tenglik o’rinli bo’ladi.
Isboti. 1⁰. f(x)=u(x)×v(x).
2⁰. f(x+Dx)=u(x+Dx)×v(x+Dx)=(u(x)+Du)×(v(x)+Dv)=
=u(x)v(x)+Duv(x)+Dvu(x)+ DuDv.
3⁰. Dy= f(x+Dx)- f(x)= Duv(x)+Dvu(x)+DuDv.
4⁰. .
5⁰. = =
=u’(x)×v(x)+u(x)×v’(x)++u’(x)× Dv.
Bunda v(x) funksiyaning uzluksizligini e’tiborga olsak Dv=0 va natijada (1.7) formulaga ega bo’lamiz.
1-natija. Quyidagi (Cu(x))’=C×u’(x) formula o’rinli.
Isboti. Ikkinchi teoremaga ko’ra (Cu(x))’=C’×u(x)+C×u’(x). Ammo C’=0, demak (Cu(x))’=C×u’(x).
Misollar. 1. (6x²)’=6(x²)’=6×2x=12x.
2. (x⁴)’=((x²)(x²))’=(x²)’(x²)+(x²)(x²)’=2x(x²)+(x²)×2x=4x³.
3. (0,25x4-3x2)’=(0,25x⁴)’+(3x²)’=0,25×4x³+3×2x= x³+6x.
2-natija. Agar u₁(x), u₂(x), ... ,u_n(x) funksiyalar x nuqtada hosilaga ega bo’lsa, u holda ularning ko’paytmasi f(x)= u₁(x)×u₂(x)× ...×u_n(x) ham x nuqtada hosilaga ega va quyidagi formula o’rinli bo’ladi:
f’(x)= (u₁(x)× u₂(x)× ...×u_n(x))’= u’₁(x)× u₂(x)× ...×u_n(x)+ u₁(x)× u’₂(x)× ...×u_n(x)+...+ u₁(x)× u₂(x)× ...×u’_n(x).
Bo’linmaning hosilasi.
4-teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalar xÎ(a,b) nuqtada hosilaga ega, v(x)¹0 bo’lsa, u holda ularning f(x)=u(x)/v(x) bo’linmasi xÎ(a,b) nuqtada hosilaga ega va
f’(x)= (1.8)
formula o’rinli bo’ladi.
Isboti. 1⁰. f(x)= .
2⁰. f(x+Dx)= = .
3⁰. Dy= f(x+Dx)- f(x)= - =
4⁰. =
5⁰. Dx®0 da limitga o’tamiz, limitga ega funksiyalarning xossalari va 2-teorema isbotidagi kabi Dv=0 tenglikdan foydalansak
= =
natijaga yerishamiz, ya’ni (1.8) formula o’rinli ekan.
Misol.Ushbu f(x)= funksiyaning hosilasini toping.
Yechish.
Shunday qilib biz ushbu paragrafda hosilani hisoblashning quyidagi qoidalarini keltirib chiqardik:

1. 
   Ikkita, umuman chekli sondagi funksiyalar yig’indisining hosilasi hosilalar yig’indisiga teng.
   
2. 
   O’zgarmas ko’paytuvchini hosila belgisi oldiga chiqarish mumkin.
   
3. 
   Ikkita u(x) va v(x) funksiyalar ko’paytmasining hosilasi u’v+uv’ ga teng.
   
4. 
   Ikkita u(x) va v(x) funksiyalar bo’linmasining hosilasi (u’v-uv’)/v²ga teng.
   

1- va 2-teorema natijalaridan foydalangan holda quyidagi qoidaning ham o’rinli ekanligini ko’rish qiyin emas:
5. Chekli sondagi differensiallanuvchi funksiyalar chiziqli kombinatsiyasining hosilasi hosilalarning aynan shunday chiziqli kombinatsiyasiga teng, ya’ni agar f(x)=c₁u₁(x)+ c₂u₂(x)+...+ c_nu_n(x) bo’lsa, u holda f’(x)=c₁u’₁(x)+ c₂u’₂(x)+...+ c_nu’_n(x).
Bu qoidaning isbotini o’quvchilarga havola qilamiz.
Eslatma. Yuqoridagi teoremalar funksiyalar yig’indisi, ko’paytmasi, bo’linmasining hosilaga ega bo’lishining yetarli shartlarini ifodalaydi. Demak, ikki funksiya yig’indisi, ayirmasi, ko’paytmasi va nisbatidan iborat bo’lgan funksiyaning hosilaga ega bo’lishidan bu funksiyalarning har biri hosilaga ega bo’lishi har doim kelib chiqavyermaydi. Masalan, u(x)=|x|, v(x)=|x| deb, ularning ko’paytmasini tuzsak, y=x² ko’rinishdagi funksiya hosil bo’ladi. Bu funksiyaning "xÎ(-¥;+¥) nuqtada, xususan, x=0 nuqtada hosilasi mavjud. Ammo, ma’lumki y=|x| funksiyaning x=0 nuqtada hosilasi mavjud emas.

3.