Matematika-informatika fakulteti

Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar. Ikkinchi tartibli hosilaning mexanik ma’nosi. Parametrik koʻrinishda berilgan funksiyalarni differensiallash
1. Yuqori tartibli hosila tushunchasi. Faraz qilaylik, biror   da hosilaga ega   funksiya aniqlangan bo‘lsin. Ravshanki,   hosila   da aniqlangan funksiya bo‘ladi. Demak, hosil bo‘lgan funksiyaning hosilasi, ya’ni hosilaning hosilasi haqida gapirish mumkin. Agar   funksiyaning hosilasi mavjud bo‘lsa, uni  funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi deyiladi va  ,   simvollarning biri bilan belgilanadi. Shunday qilib, ta’rif bo‘yicha   ekan.
Shunga o‘xshash, agar ikkinchi tartibli hosilaning hosilasi mavjud bo‘lsa, u uchinchi tartibli hosila deyiladi     kabi belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha  .
Berilgan funksiyaning to‘rtinchi va h.k. tartibdagi hosilalari xuddi shunga o‘xshash aniqlanadi. Umuman   funksiyaning  -tartibli   hosilasining hosilasiga uning n-tartibli hosilasi deyiladi va  ,  ,   simvollarning biri bilan belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha n-tartibli hosila   rekkurent (qaytma) formula bilan hisoblanar ekan.
1-misol.   funksiya berilgan.   ni hisoblang.
Yechish.  ,  ,  , demak  .
Yuqorida aytilganlardan, funksiyaning yuqori tartibli, masalan, n-tartibli hosilalarini topish uchun uning barcha oldingi tartibli hosilalarini topish zarurligi kelib chiqadi. Ammo ayrim funksiyalarning yuqori tartibli hosilalari uchun umumiy qonuniyatni topish va undan foydalanib formula keltirib chiqarish mumkin.
2. Ikkinchi tartibli hosilaning mexanik ma’nosi. Ikkinchi tartibli hosila sodda mexanik ma’noga ega. Aytaylik, moddiy nuqtaning harakat qonuni   funksiya bilan aniqlangan bo‘lsin. U holda uning birinchi tartibli hosilasi   harakat tezligini ifodalashi bizga ma’lum. Ikkinchi tartibli  hosila esa harakat tezligining o‘zgarish tezligi, ya’ni harakat tezlanishini ifodalaydi.
2-misol. Moddiy nuqta   (  metrlarda,   sekundlarda berilgan) qonun bo‘yicha to‘g‘ri chiziqli harakat qilmoqda. Uning o‘zgarmas kuch ta’sirida harakat qilishini ko‘rsating.
Yechish.  ,  , bundan   bo‘lib, harakat tezlanishi o‘zgarmas ekan. Nyuton qonuni bo‘yicha kuch tezlanishga proporsional. Demak, kuch ham o‘zgarmas ekan.