Mavzu: Baza bo’yicha Limit tushunchasi

2- misol. bo‘lsin. Bu funksiya uchun bo‘ladi.

3- misol. Ushbu funksiyaning nuqtadagi limiti 2 ga teng ekani ko‘rsatilsin.

soniga ko‘ra deb olsak, u holda tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy da bo‘ladi. Demak,

• 5-ta’rif. Agar son olinganda ham shunday son topilsaki, uchun tengsizlik bajarilsa, funksiyaning nuqtadagi limiti deb ataladi va

• kabi belgilanadi.

• Masalan,

• funksiya uchun bo‘ladi.
• Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
• 6-ta’rif. Agar son olinganda ham shunday topilsaki, uchun

• tengsizlik bajarilsa, soni funksiyaning dagi limiti deyiladi va kabi belgilanadi.

• 4-misol. Aytaylik, , , bo‘lsin. U holda bo‘ladi.
• Haqiqatan ham, sonnni olaylik. Ravshanki, uchun

• Demak, deyilsa, unda uchun

• bo‘ladi.

• Koshi ta’rifiga ko‘ra soni funksiyaning nuqtadagi limiti bo‘lsin: Unda

• Bo‘lganda

• (1)

• bo‘ladi. nuqta to‘plamning limit nuqtasi. Unda 2-teoremaga ko‘ra ketma-ketlik topiladiki, da bo‘ladi. Ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan

• (2)

• bo‘ladi. (1) va (2) munosabatlardan uchun
• bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa sonini Geyne ta’rifi bo‘yicha funksiyaning nuqtadagi limiti ekanini bildiradi.

• Endi soni Geyne ta’rifi bo‘yicha funksiyaning nuqtadagi limiti bo‘lsin.

• Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni funksiyaning nuqtadagi limiti Geyne ta’rifi bo‘yicha ga teng bo‘lsa ham, Koshi ta’rifi bo‘yicha limiti bo‘lmasin. Unda biror uchun ixtiyoriy son olinganda ham ni qanoatlantiruvchi biror da
• bo‘ladi.

• Nolga intiluvchi musbat sonlar ketma-ketligi {} ni olaylik: da .
• U holda

• (3)

• bo‘ladi. Ammo , da , demak, Geyne ta’rifiga asosan
• bo‘ladi. Bu (3) ga ziddir. Demak, soni Koshi ta’rifi bo‘yicha ham, funksiyaning nuqtadagi limiti bo‘ladi.

• Funksiyaning o‘ng va chap limitlari. Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan, nuqta ning chap limit nuqtasi bo‘lib,
• bo‘lsin.

•